Mostre que, se A é uma matriz quadrada que satisfaza equação A^{2}-2 A+I=O, então A^{-1}=2 I-A.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A que satisfaz
A^{2}-2A+I = O
e pede para mostrar que a inversa de A é
A^{-1} = 2I - A.
O conteúdo aplicado será manipular a equação polinomial e usar a definição de inversa de matriz.

Passo 2

Reescrevemos a equação
A^{2}-2A+I = O
de modo a isolar I. Basta passar os termos envolvendo A para o outro lado:
I = 2A - A^{2}.

Passo 3

Note que o lado direito se fatora em termos de A e 2I-A:
2A - A^{2} = A\,(2I - A) = (2I - A)\,A,
pois 2I comuta com A.

Passo 4

Da igualdade
A\,(2I - A) = I
vemos que 2I - A é uma inversa à direita de A. E da igualdade
(2I - A)\,A = I
vemos que 2I - A é também inversa à esquerda de A. Logo, A é invertível e sua inversa é única e igual a 2I - A.

Resposta

A^{-1} = 2I - A.

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