Mostre que, se
é uma matriz quadrada que satisfaza equação
, então
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
que satisfaz
e pede para mostrar que a inversa de
é
O conteúdo aplicado será manipular a equação polinomial e usar a definição de inversa de matriz.
Passo 2
Reescrevemos a equação
de modo a isolar
. Basta passar os termos envolvendo
para o outro lado:
Passo 3
Note que o lado direito se fatora em termos de
e
:
pois
comuta com
.
Passo 4
Da igualdade
vemos que
é uma inversa à direita de
. E da igualdade
vemos que
é também inversa à esquerda de
. Logo,
é invertível e sua inversa é única e igual a
.