Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o Teorema 3.
\left[\begin{array}{rr}a & -b \\\ b & a\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
M = \begin{pmatrix}a & -b \\[6pt] b & a\end{pmatrix}
usando o Teorema 3 (que afirma que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo, e fornece a fórmula da inversa em termos da matriz de cofatores).]

Passo 2

Calcular o determinante de M. Para uma matriz 2\times2,
\det(M) = a\cdot a - (-b)\cdot b = a^2 + b^2.
Logo, M é invertível se, e somente se,
a^2 + b^2 \neq 0.

Passo 3

Construir a matriz adjunta de M (transposta da matriz de cofatores). Em dimensão 2, basta trocar os elementos da diagonal e inverter o sinal dos outros. Assim,
\mathrm{adj}(M) = \begin{pmatrix} a & b \\\\ -\,b & a \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa:
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\,\mathrm{adj}(M) = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & b \\\\ -\,b & a \end{pmatrix}.

Resposta

Para a^2 + b^2 \neq 0,
M^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & b \\\\ -\,b & a \end{pmatrix}.

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