Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 6\end{array}\right], \mathbf{b}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 5\end{array}\right], \mathbf{b}_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right], \quad e \quad \mathbf{b}_{3}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0\end{array}\right].
(a) Determine A^{-1} e use-a para resolver os três siste\operatorname{mas} A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{1}, A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{2} e A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{3}.
(b) Resolva os três sistemas simultaneamente reduzindo por linhas a matriz completa \left[A \mid \mathbf{b}_{1} \mathbf{b}_{2} \mathbf{b}_{3}\right], por meio do método de eliminação de Gauss-Jordan.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar A^{-1} e usar A^{-1} para resolver os três sistemas \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}_1,\;A\mathbf{x}=\mathbf{b}_2,\;A\mathbf{x}=\mathbf{b}_3.
(b) Resolver os mesmos três sistemas simultaneamente realizando eliminação de Gauss-Jordan na matriz completa
Explicando isso de forma simples: trocamos a e d, mudamos o sinal de b e c e dividimos tudo pelo determinante. O determinante indica se a matriz é invertível (\det\neq0) e serve de fator de escala.]
Passo 3
Aplicando a fórmula em nosso A: aqui a=1,\;b=2,\;c=2,\;d=6. Então
\det(A)=1\cdot6-2\cdot2=6-4=2.
Como \det(A)=2\neq0, A é invertível. Usando a fórmula,
Aqui eu mostrei cada passo: calculei o determinante e depois apliquei a troca e os sinais, por fim dividi por 2.]
Passo 4
Agora resolvo os sistemas com a fórmula \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Essa é a ideia: multiplicar a inversa pela coluna do lado direito dá a solução do sistema, porque A^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Calculo para \mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}3\\[4pt]5\end{bmatrix}:
Agora faço a parte (b): eliminar por Gauss-Jordan a matriz aumentada com as três colunas de termos independentes juntas. A matriz aumentada inicial é (peguei os vetores do enunciado):
A ideia do Gauss-Jordan é usar operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo) para transformar a parte esquerda em uma matriz identidade; as mesmas operações aplicadas à parte direita dão as soluções.]
Passo 8
Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna: faço R_2\leftarrow R_2-2R_1.
Calculo cada entrada da segunda linha:
Coluna 1: 2-2\cdot1=0.
Coluna 2: 6-2\cdot2=2.
Para as colunas dos vetores \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3:
5-2\cdot3=5-6=-1 (peguei esses números da imagem/énunciado).
\mathbf{x} para \mathbf{b}_1: \displaystyle\begin{bmatrix}4\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \
\mathbf{x} para \mathbf{b}_2: \displaystyle\begin{bmatrix}-5\\[4pt]2\end{bmatrix} \
\mathbf{x} para \mathbf{b}_3: \displaystyle\begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\end{bmatrix}
(b) Pelas operações de Gauss-Jordan a solução simultânea é: \displaystyle\begin{bmatrix}4\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}-5\\[4pt]2\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\end{bmatrix}]