1. Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 6\end{array}\right], \mathbf{b}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 5\end{array}\right], \mathbf{b}_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right], \quad e \quad \mathbf{b}_{3}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0\end{array}\right].
    (a) Determine A^{-1} e use-a para resolver os três siste \operatorname{mas} A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{1}, A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{2} e A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{3}.
    (b) Resolva os três sistemas simultaneamente reduzindo por linhas a matriz completa \left[A \mid \mathbf{b}_{1} \mathbf{b}_{2} \mathbf{b}_{3}\right], por meio do método de eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

O exercício fornece:
A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 6\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}3\\[4pt]5\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\end{bmatrix},\quad \mathbf{b}_3=\begin{bmatrix}2\\[4pt]0\end{bmatrix}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar A^{-1} e usar A^{-1} para resolver os três sistemas \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}_1,\;A\mathbf{x}=\mathbf{b}_2,\;A\mathbf{x}=\mathbf{b}_3.
(b) Resolver os mesmos três sistemas simultaneamente realizando eliminação de Gauss-Jordan na matriz completa
\bigl[A \mid \mathbf{b}_1\\ \mathbf{b}_2\\ \mathbf{b}_3\bigr].]

Passo 2

Vamos calcular A^{-1}. Primeiro lembro a fórmula para a inversa de uma matriz 2\times2. Se
A=\begin{bmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{bmatrix},
então o determinante é \det(A)=ad-bc e, se \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{bmatrix}.
Explicando isso de forma simples: trocamos a e d, mudamos o sinal de b e c e dividimos tudo pelo determinante. O determinante indica se a matriz é invertível ( \det\neq0) e serve de fator de escala.]

Passo 3

Aplicando a fórmula em nosso A: aqui a=1,\;b=2,\;c=2,\;d=6. Então
\det(A)=1\cdot6-2\cdot2=6-4=2.
Como \det(A)=2\neq0, A é invertível. Usando a fórmula,
A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}6 & -2\\[4pt]-2 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.
Aqui eu mostrei cada passo: calculei o determinante e depois apliquei a troca e os sinais, por fim dividi por 2.]

Passo 4

Agora resolvo os sistemas com a fórmula \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Essa é a ideia: multiplicar a inversa pela coluna do lado direito dá a solução do sistema, porque A^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Calculo para \mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}3\\[4pt]5\end{bmatrix}:
\mathbf{x}_1=A^{-1}\mathbf{b}_1 =\begin{bmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\[4pt]5\end{bmatrix}.
Faço a multiplicação linha a coluna, passo a passo:
  • Primeira componente: 3\cdot3+(-1)\cdot5=9-5=4.
  • Segunda componente: -1\cdot3+\tfrac{1}{2}\cdot5=-3+\tfrac{5}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
\mathbf{x}_1=\begin{bmatrix}4\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 5

Calculo para \mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\end{bmatrix}:
\mathbf{x}_2=A^{-1}\mathbf{b}_2 =\begin{bmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Multiplicando:
  • Primeira componente: 3\cdot(-1)+(-1)\cdot2=-3-2=-5.
  • Segunda componente: -1\cdot(-1)+\tfrac{1}{2}\cdot2=1+1=2.
Logo
\mathbf{x}_2=\begin{bmatrix}-5\\[4pt]2\end{bmatrix}.]

Passo 6

Calculo para \mathbf{b}_3=\begin{bmatrix}2\\[4pt]0\end{bmatrix}:
\mathbf{x}_3=A^{-1}\mathbf{b}_3 =\begin{bmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Multiplicando:
  • Primeira componente: 3\cdot2+(-1)\cdot0=6.
  • Segunda componente: -1\cdot2+\tfrac{1}{2}\cdot0=-2.
Assim
\mathbf{x}_3=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\end{bmatrix}.]

Passo 7

Agora faço a parte (b): eliminar por Gauss-Jordan a matriz aumentada com as três colunas de termos independentes juntas. A matriz aumentada inicial é (peguei os vetores do enunciado):
\left[\begin{array}{cc|ccc} 1 & 2 & 3 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 6 & 5 & 2 & 0 \end{array}\right].
A ideia do Gauss-Jordan é usar operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo) para transformar a parte esquerda em uma matriz identidade; as mesmas operações aplicadas à parte direita dão as soluções.]

Passo 8

Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna: faço R_2\leftarrow R_2-2R_1.
Calculo cada entrada da segunda linha:
  • Coluna 1: 2-2\cdot1=0.
  • Coluna 2: 6-2\cdot2=2.
  • Para as colunas dos vetores \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3:
    • 5-2\cdot3=5-6=-1 (peguei esses números da imagem/énunciado).
    • 2-2\cdot(-1)=2+2=4.
    • 0-2\cdot2=0-4=-4.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|ccc} 1 & 2 & 3 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 4 & -4 \end{array}\right].]

Passo 9

Coloco o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo a linha por 2: R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2. Assim
R_2=\begin{bmatrix}0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 2 & -2\end{bmatrix}.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|ccc} 1 & 2 & 3 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 10

Eliminação acima do pivô da segunda coluna: faço R_1\leftarrow R_1-2R_2. Calculando as entradas alteradas da primeira linha:
  • Coluna 1 permanece 1.
  • Coluna 2: 2-2\cdot1=0.
  • Para as colunas dos vetores:
    • 3-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=3+1=4.
    • -1-2\cdot2=-1-4=-5.
    • 2-2\cdot(-2)=2+4=6.
A matriz final é
\left[\begin{array}{cc|ccc} 1 & 0 & 4 & -5 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 2 & -2 \end{array}\right].]

Passo 11

A parte esquerda é agora a identidade, e as colunas à direita são exatamente as soluções correspondentes:
\mathbf{x}_1=\begin{bmatrix}4\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_2=\begin{bmatrix}-5\\[4pt]2\end{bmatrix},\quad \mathbf{x}_3=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\end{bmatrix}.
Observe que esses vetores coincidem com os obtidos no método (a) usando A^{-1}, como deve acontecer.]

Resposta

(a) A^{-1}=\displaystyle\begin{bmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \
\mathbf{x} para \mathbf{b}_1: \displaystyle\begin{bmatrix}4\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \
\mathbf{x} para \mathbf{b}_2: \displaystyle\begin{bmatrix}-5\\[4pt]2\end{bmatrix} \
\mathbf{x} para \mathbf{b}_3: \displaystyle\begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\end{bmatrix}
(b) Pelas operações de Gauss-Jordan a solução simultânea é: \displaystyle\begin{bmatrix}4\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}-5\\[4pt]2\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\end{bmatrix}]

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