Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o Teorema 3.
\left[\begin{array}{rr}\sqrt{2} / 2 & -\sqrt{2} \\\\ 2 \sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 2\times2. O conteúdo é a fórmula de inversão de uma matriz A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, que existe se e somente se \det(A)\neq0, e nesse caso
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}.

Passo 2

Identificamos
a=\frac{\sqrt2}{2},\quad b=-\sqrt2,\quad c=2\sqrt2,\quad d=\sqrt2
e calculamos o determinante pela definição \det(A)=ad-bc:
\det(A) =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2 -(-\sqrt2)\cdot2\sqrt2 =1-(-4) =5.

Passo 3

Como \det(A)=5\neq0, a matriz é invertível.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da inversa:
A^{-1} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix} =\frac{1}{5} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\\\ -2\sqrt{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.

Passo 5

Basta distribuir \frac{1}{5} em cada entrada:
A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{5} & \frac{\sqrt{2}}{5} \\\\ -\frac{2\sqrt{2}}{5} & \frac{\sqrt{2}}{10} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{5} & \frac{\sqrt2}{5} \\\\ -\frac{2\sqrt2}{5} & \frac{\sqrt2}{10} \end{pmatrix}

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