Questão 5 (Valor: 2,5) Mostre que U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=0\right\} e W=\{(x, y, z) \in\left.\mathbb{R}^{3}: y=0\right\} são subespaços de \mathbb{R}^{3} depois verifique se \mathbb{R}^{3}=U \oplus W.
Passo 1
O enunciado define
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x=0\},\quad W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : y=0\},
e pede duas coisas:
Mostrar que U e W são subespaços de \mathbb{R}^3.
Verificar se \mathbb{R}^3 = U\oplus W.
Para isso precisamos usar os critérios de subespaço (não vazio, fechado sob soma e escalar) e a definição de soma direta (todo vetor como soma e interseção trivial).
Passo 2
Mostrando que U é subespaço de \mathbb{R}^3:
Não vazio: (0,0,0)\in U pois tem x=0.
Fechado sob soma: tomemos (0,y_1,z_1),(0,y_2,z_2)\in U.
Então(0,y_1,z_1)+(0,y_2,z_2) = (0,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2)e o primeiro componente continua zero, logo pertence a U.
Fechado sob multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (0,y,z)\in U,\lambda\cdot(0,y,z) = (0,\,\lambda y,\,\lambda z)\in U.
Portanto U é subespaço.
Passo 3
Mostrando que W é subespaço de \mathbb{R}^3:
Não vazio: (0,0,0)\in W pois tem y=0.
Fechado sob soma: se (x_1,0,z_1),(x_2,0,z_2)\in W,(x_1,0,z_1)+(x_2,0,z_2) = (x_1+x_2,\,0,\,z_1+z_2)\in W.
Fechado sob escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (x,0,z)\in W,\lambda\cdot(x,0,z) = (\lambda x,\,0,\,\lambda z)\in W.
Logo W é subespaço.
Passo 4
Verificando que U+W=\mathbb{R}^3:
Seja (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Podemos escrever