Questão 5 (Valor: 2,5) Mostre que U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=0\right\} e W=\{(x, y, z) \in \left.\mathbb{R}^{3}: y=0\right\} são subespaços de \mathbb{R}^{3} depois verifique se \mathbb{R}^{3}=U \oplus W.

Passo 1

O enunciado define
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x=0\},\quad W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : y=0\},
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que U e W são subespaços de \mathbb{R}^3.
  2. Verificar se \mathbb{R}^3 = U\oplus W.
    Para isso precisamos usar os critérios de subespaço (não vazio, fechado sob soma e escalar) e a definição de soma direta (todo vetor como soma e interseção trivial).

Passo 2

Mostrando que U é subespaço de \mathbb{R}^3:
  1. Não vazio: (0,0,0)\in U pois tem x=0.
  2. Fechado sob soma: tomemos (0,y_1,z_1),(0,y_2,z_2)\in U.
    Então (0,y_1,z_1)+(0,y_2,z_2) = (0,\,y_1+y_2,\,z_1+z_2)e o primeiro componente continua zero, logo pertence a U.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (0,y,z)\in U, \lambda\cdot(0,y,z) = (0,\,\lambda y,\,\lambda z)\in U.
Portanto U é subespaço.

Passo 3

Mostrando que W é subespaço de \mathbb{R}^3:
  1. Não vazio: (0,0,0)\in W pois tem y=0.
  2. Fechado sob soma: se (x_1,0,z_1),(x_2,0,z_2)\in W, (x_1,0,z_1)+(x_2,0,z_2) = (x_1+x_2,\,0,\,z_1+z_2)\in W.
  3. Fechado sob escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (x,0,z)\in W, \lambda\cdot(x,0,z) = (\lambda x,\,0,\,\lambda z)\in W.
Logo W é subespaço.

Passo 4

Verificando que U+W=\mathbb{R}^3:
Seja (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Podemos escrever
(x,y,z) = \underbrace{(0,y,z)}_{u\in U} + \underbrace{(x,0,0)}_{w\in W}.
Logo todo vetor de \mathbb{R}^3 é soma de um elemento de U com um de W, portanto
U + W = \mathbb{R}^3.

Passo 5

Verificando se a soma é direta:
Precisamos checar se U\cap W = \{(0,0,0)\}.
Mas
U\cap W = \{(0,y,z): x=0\}\cap\{(x,0,z): y=0\} = \{(0,0,z): z\in\mathbb{R}\},
que contém vetores não nulos, por exemplo (0,0,1).
Portanto a interseção não é apenas \{(0,0,0)\}, e assim
\mathbb{R}^3 \neq U\oplus W.

Resposta

U e W são subespaços de \mathbb{R}^3.
Temos U+W=\mathbb{R}^3, mas U\cap W\neq\{0\}, logo
\mathbb{R}^3 \neq U \oplus W.

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