Questão 6 (QUESTÃO EXTRA: 2,0)

O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Seja A uma matriz 2 \times 2. Mostre que \operatorname{det}(I+A)=1+\operatorname{det} A se, e somente se, traço de A é zero.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, para uma matriz 2 \times 2 A, vale
\det(I+A)=1+\det(A)
se, e somente se, \operatorname{tr}(A)=0. Vamos usar a expressão do determinante em termos dos elementos da matriz e identificar traço e determinante.

Passo 2

Escrevemos
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}, \quad I+A = \begin{pmatrix}1+a & b \\\ c & 1+d\end{pmatrix}.
Pela definição de determinante em dimensão 2,
\det(I+A) = (1+a)(1+d) - b\,c.

Passo 3

Expandindo o produto, obtemos
(1+a)(1+d) - b\,c = 1 + a + d + a d - b c = 1 + (a+d) + (a d - b c).
Reconhecemos que a+d = \operatorname{tr}(A) e ad - bc = \det(A). Logo
\det(I+A) = 1 + \operatorname{tr}(A) + \det(A).

Passo 4

Da expressão \det(I+A)=1+\operatorname{tr}(A)+\det(A) segue imediatamente que
\det(I+A)=1+\det(A) \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\operatorname{tr}(A)+\det(A)=1+\det(A) \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tr}(A)=0.
Assim concluímos a equivalência desejada.

Resposta

\operatorname{tr}(A)=0.

Exercícios relacionados