Questão 6 (QUESTÃO EXTRA: 2,0)
O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Seja A uma matriz
. Mostre que
se, e somente se, traço de
é zero.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, para uma matriz
, vale
se, e somente se,
. Vamos usar a expressão do determinante em termos dos elementos da matriz e identificar traço e determinante.
Passo 2
Escrevemos
Pela definição de determinante em dimensão
,
Passo 3
Expandindo o produto, obtemos
Reconhecemos que
e
. Logo
Passo 4
Da expressão
segue imediatamente que
Assim concluímos a equivalência desejada.