Para que valores de \beta a matriz é nilpotente de índice 3?
A=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & \beta \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \beta\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pergunta: para quais valores de \beta a matriz A é nilpotente de índice 3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz é 4\times4.
  • O único elemento que depende do parâmetro é \beta na posição (1,4).
  • Pedido: encontrar valores de \beta tais que o menor inteiro k>0 com A^{k}=0 seja k=3.]

Passo 2

O que significa "matriz nilpotente de índice 3"?
  • Uma matriz M é nilpotente se existe um inteiro k\ge1 tal que M^{k}=0.
  • O índice de nilpotência (ou ordem de nilpotência) é o menor k com M^{k}=0.
    Portanto, precisamos de A^{3}=0 e de A^{2}\neq0. Vou calcular explicitamente A, A^{2}, A^{3} (e, se preciso, A^{4}) para ver como dependem de \beta.

Passo 3

Estratégia prática e notação: é conveniente calcular A atuando sobre as bases canônicas \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}. As colunas de A são exatamente A e_{1},A e_{2},A e_{3},A e_{4}. Vou calcular cada A e_{j}.

Passo 4

Calcular A e_{j} para j=1,2,3,4.
  • Coluna 1: A e_{1} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=0.
  • Coluna 2: A e_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=e_{1}.
  • Coluna 3: A e_{3} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=e_{2}.
  • Coluna 4: A e_{4} = \begin{pmatrix}\beta\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=\beta e_{1}+e_{3}.
Portanto, visto por colunas,
A = \big(0,\; e_{1},\; e_{2},\; \beta e_{1}+e_{3}\big).

Passo 5

Agora calculo A^{2} coluna a coluna usando A^{2}e_{j}=A(Ae_{j}).
  • A^{2}e_{1}=A(0)=0.
  • A^{2}e_{2}=A(e_{1})=0 (pois A e_{1}=0).
  • A^{2}e_{3}=A(e_{2})=e_{1}.
  • A^{2}e_{4}=A(\beta e_{1}+e_{3})=\beta A e_{1}+A e_{3}=0+e_{2}=e_{2}.
Logo, por colunas,
A^{2}=\big(0,\;0,\;e_{1},\;e_{2}\big).
Escrevendo em matriz (entradas não nulas explicitadas):
A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Note que A^{2} tem entradas não nulas (por exemplo o elemento (1,3)=1), logo A^{2}\neq0 para todo \beta.]

Passo 6

Calculo A^{3} da mesma forma: A^{3}e_{j}=A(A^{2}e_{j}).
  • A^{3}e_{1}=A(0)=0.
  • A^{3}e_{2}=A(0)=0.
  • A^{3}e_{3}=A(e_{1})=0.
  • A^{3}e_{4}=A(e_{2})=e_{1}.
Portanto
A^{3}=\big(0,\;0,\;0,\;e_{1}\big),
ou seja, a única coluna possivelmente não nula é a coluna 4, que vale e_{1}. Em forma matricial:
A^{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observe que a coluna (1,4)=1 em A^{3} não depende de \beta. Assim A^{3}\neq0 para todo \beta.]

Passo 7

Para completar a cadeia de potências, calculo A^{4}:
  • Como A^{3}e_{4}=e_{1} e A e_{1}=0, segue A^{4}e_{4}=A(e_{1})=0.
  • Todas as outras colunas de A^{3} são zero, logo todas as colunas de A^{4} são zero.
Logo A^{4}=0 sempre. Resumo das observações obtidas:
  • A^{2}\neq0 para todo \beta.
  • A^{3}\neq0 para todo \beta.
  • A^{4}=0 para todo \beta.
Esses fatos implicam que o menor k com A^{k}=0 é k=4, independentemente de \beta.

Resposta

Nenhum valor de \beta.

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