e pergunta: para quais valores de \beta a matriz A é nilpotente de índice 3.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz é 4\times4.
O único elemento que depende do parâmetro é \beta na posição (1,4).
Pedido: encontrar valores de \beta tais que o menor inteiro k>0 com A^{k}=0 seja k=3.]
Passo 2
O que significa "matriz nilpotente de índice 3"?
Uma matriz M é nilpotente se existe um inteiro k\ge1 tal que M^{k}=0.
O índice de nilpotência (ou ordem de nilpotência) é o menor k com M^{k}=0.
Portanto, precisamos de A^{3}=0 e de A^{2}\neq0. Vou calcular explicitamente A, A^{2}, A^{3} (e, se preciso, A^{4}) para ver como dependem de \beta.
Passo 3
Estratégia prática e notação: é conveniente calcular A atuando sobre as bases canônicas \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}. As colunas de A são exatamente A e_{1},A e_{2},A e_{3},A e_{4}. Vou calcular cada A e_{j}.
Passo 4
Calcular A e_{j} para j=1,2,3,4.
Coluna 1: A e_{1} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=0.
Coluna 2: A e_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=e_{1}.
Coluna 3: A e_{3} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}=e_{2}.
Coluna 4: A e_{4} = \begin{pmatrix}\beta\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=\beta e_{1}+e_{3}.
Portanto, visto por colunas,
A = \big(0,\; e_{1},\; e_{2},\; \beta e_{1}+e_{3}\big).
Passo 5
Agora calculo A^{2} coluna a coluna usando A^{2}e_{j}=A(Ae_{j}).
A^{2}e_{1}=A(0)=0.
A^{2}e_{2}=A(e_{1})=0 (pois A e_{1}=0).
A^{2}e_{3}=A(e_{2})=e_{1}.
A^{2}e_{4}=A(\beta e_{1}+e_{3})=\beta A e_{1}+A e_{3}=0+e_{2}=e_{2}.
Logo, por colunas,
A^{2}=\big(0,\;0,\;e_{1},\;e_{2}\big).
Escrevendo em matriz (entradas não nulas explicitadas):