Ache a lei da transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M_{2 \times 2} que
T(2,3)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad T(1,2)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear
\;T\colon \mathbb{R}^{2}\to M_{2\times2}
sabendo apenas que
T(2,3)=\begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad T(1,2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
Para achar a fórmula geral T(x,y), vamos usar linearidade:
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Então precisamos encontrar as matrizes
\,E=T(1,0) e F=T(0,1) a partir dos dados dados.

Passo 2

Defina
E = T(1,0),\qquad F = T(0,1).
Pela linearidade temos
2E + 3F \;=\; T(2,3) \;=\;\begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E + 2F \;=\; T(1,2) \;=\;\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
Chame
A = \begin{pmatrix}1 & -3\\\ 0 & 2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
Então o sistema matricial é
2E+3F = A, \qquad E+2F = B.

Passo 3

Resolvendo para F: multiplique a segunda equação por 2 e subtraia da primeira:
2E+4F \;=\;2B \quad\Longrightarrow\quad (2E+4F)-(2E+3F)=2B - A \;\Longrightarrow\; F = 2B - A.
Substituindo em E+2F=B
E = B - 2F = B - 2(2B - A) = 2A - 3B.
Agora calculemos explicitamente:
F = 2\,\begin{pmatrix}2&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&-3\\\ 0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&2\\\ 4&-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&-3\\\ 0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&5\\\ 4&-4\end{pmatrix},
E = 2\,\begin{pmatrix}1&-3\\\ 0&2\end{pmatrix} - 3\,\begin{pmatrix}2&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-6\\\ 0&4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6&3\\\ 6&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & -9\\\ -6 & 7\end{pmatrix}.

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y) = x\,E + y\,F = x\begin{pmatrix}-4&-9\\\ -6&7\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}3&5\\\ 4&-4\end{pmatrix}.
Somando termo a termo obtemos
T(x,y) = \begin{pmatrix} -4x + 3y & -9x + 5y \\\\ -6x + 4y & 7x - 4y \end{pmatrix}.

Resposta

T(x,y) = \begin{pmatrix} -4x + 3y & -9x + 5y \\[6pt] -6x + 4y & 7x - 4y \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados