Considere as transformações lineares: T: P_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} e S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definidas como
T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a-b-2 c, 3 a+2 b-c)
e
S(x, y)=(x-2 y,-2 x-2 y)
Ache a composta S \circ T

Passo 1

O enunciado define as transformações lineares
T\colon P_{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(a x^{2}+b x+c)=(a-b-2c,\;3a+2b-c)
e
S\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad S(x,y)=(x-2y,\;-2x-2y).
Queremos a composta S\circ T, ou seja, aplicar T ao polinômio e em seguida S ao vetor resultante.

Passo 2

Aplicando T ao polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c obtemos o vetor
T(p)=(a-b-2c,\;3a+2b-c).

Passo 3

Para calcular S(T(p)), note que se x=a-b-2c e y=3a+2b-c, então
S(x,y)=(x-2y,\;-2x-2y).
Basta substituir esses valores em cada componente.

Passo 4

Primeira componente de S(T(p)):
(a-b-2c)-2(3a+2b-c) =a-b-2c-6a-4b+2c =-5a-5b.

Passo 5

Segunda componente de S(T(p)):
-2(a-b-2c)-2(3a+2b-c) =-2a+2b+4c-6a-4b+2c =-8a-2b+6c.

Resposta

(S\circ T)(a x^{2}+b x+c)=(-5a-5b,\;-8a-2b+6c).

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