Considere o vetor \vec{u}=\vec{i}+\vec{k} e o vetor \vec{v}=2 \vec{j}.
(a) O conjunto \{\vec{i}, \vec{u}, \vec{v}\} é uma base? Se sim, positiva ou negativa? Justifique.
(b) Calcule a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^3 com os vetores
\vec{i}=(1,0,0), \vec{u}=\vec{i}+\vec{k}=(1,0,1) e \vec{v}=2\vec{j}=(0,2,0).
(a) Queremos saber se \{\vec{i},\vec{u},\vec{v}\} forma uma base de \mathbb{R}^3 e, em caso afirmativo, seu caráter de orientação (positiva ou negativa). Para isso usaremos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.
(b) Precisamos projetar ortogonalmente \vec{u} sobre \vec{v}, usando a fórmula
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v}.

Passo 2

Formamos a matriz M com colunas \vec{i},\vec{u},\vec{v}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) = 1\cdot(0-2)-1\cdot0 = -2.

Passo 3

Como \det(M)=-2\neq0, os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^3.
O sinal do determinante é negativo, logo a base \{\vec{i},\vec{u},\vec{v}\} é de orientação negativa.

Passo 4

Para a projeção ortogonal usamos
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v}.
Calculamos os produtos internos:
\vec{u}\cdot\vec{v} = (1,0,1)\cdot(0,2,0)=0, \quad \vec{v}\cdot\vec{v} =(0,2,0)\cdot(0,2,0)=4.
Logo
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} =\frac{0}{4}\,\vec{v}=\vec{0}.

Resposta

(a) Sim, é uma base de \mathbb{R}^3, e como \det(M)=-2<0 é de orientação negativa.
(b) \mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \vec{0}.

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