Considere o vetor \vec{u}=\vec{i}+\vec{k} e o vetor \vec{v}=2 \vec{j}.
(a) O conjunto \{\vec{i}, \vec{u}, \vec{v}\} é uma base? Se sim, positiva ou negativa? Justifique.
(b) Calcule a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.
Passo 1
O enunciado trabalha em \mathbb{R}^3 com os vetores \vec{i}=(1,0,0), \vec{u}=\vec{i}+\vec{k}=(1,0,1) e \vec{v}=2\vec{j}=(0,2,0).
(a) Queremos saber se \{\vec{i},\vec{u},\vec{v}\} forma uma base de \mathbb{R}^3 e, em caso afirmativo, seu caráter de orientação (positiva ou negativa). Para isso usaremos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.
(b) Precisamos projetar ortogonalmente \vec{u} sobre \vec{v}, usando a fórmula
Como \det(M)=-2\neq0, os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^3.
O sinal do determinante é negativo, logo a base \{\vec{i},\vec{u},\vec{v}\} é de orientação negativa.