Sabendo que \|\vec{u} \times \vec{v}\| = 3 \sqrt{3}, o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é de 45 graus e \|\vec{u}\| = 3, determine \|\vec{v}\|).

Passo 1

Resumindo, sabemos que \|\vec{u}\times\vec{v}\|=3\sqrt{3}, que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \theta=45^\circ e que \|\vec{u}\|=3. O objetivo é encontrar \|\vec{v}\|. Para isso vamos usar a fórmula da magnitude do produto vetorial.

Passo 2

A fórmula geral para o produto vetorial diz que
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\sin(\theta).

Passo 3

Substituindo os valores dados, obtemos
3\sqrt{3} = 3 \cdot \|\vec{v}\|\;\sin\bigl(45^\circ\bigr).

Passo 4

Sabendo que \sin(45^\circ)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, a equação fica
3\sqrt{3} = 3\,\|\vec{v}\|\;\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{v}\|\;\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{v}\| = \sqrt{3}\,\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}.

Resposta

\sqrt{6}

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