Considere a transformação linear T: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a-b-2 c, 3 a+2 b-c)
a) Ache o núcleo de T. A transformação é injetora?
b) Encontre a imagem de T. A transformação é sobrejetora?
c) Ache a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} onde as bases A e B são:
\begin{gathered} A=\left\{3 x^{2}-2 x+1, x^{2}+2 x, x-3\right\} \text { base de } \mathbb{P}_{2} \\\ B=\{(-1,1),(1,-2)\} \text { base de } \mathbb{R}^{2} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado fornece uma transformação linear T\colon \mathbb{P}_{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr) = (\,a - b - 2c,\;3a + 2b - c\,).
Pede-se:
a) o núcleo de T e se T é injetora;
b) a imagem de T e se T é sobrejetora;
c) a matriz de T relativa à base
A=\{\,3x^{2}-2x+1,\;x^{2}+2x,\;x-3\}\quad\text{de }\mathbb{P}_{2}
e à base
B=\{\,(-1,1),\;(1,-2)\}\quad\text{de }\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Para achar \ker(T)\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} a - b - 2c = 0,\\\\ 3a + 2b - c = 0. \end{cases}
Da primeira equação a = b + 2c\]. Substituindo na segunda: \[3(b+2c) + 2b - c = 0 \;\Longrightarrow\; 5b + 5c = 0 \;\Longrightarrow\; b = -c,\] logo \(a = b + 2c = -c + 2c = c. Assim
(a,b,c) = (c,\,-c,\,c) \quad\Longrightarrow\quad \ker(T) = \{\,c(x^{2}-x+1)\mid c\in\mathbb R\} = \mathrm{span}\{\,x^{2}-x+1\}.

Passo 3

Como \ker(T) não é apenas o vetor zero (tem dimensão 1), T não é injetora.

Passo 4

Pela fórmula do teorema da dimensão ( \dim\ker(T)+\dim\Im(T)=\dim\mathbb P_{2}=3) e já tendo \dim\ker(T)=1, segue \dim\Im(T)=2. Como \mathbb R^{2} tem dimensão 2, concluímos
\Im(T)=\mathbb R^{2},
ou seja, T é sobrejetora.

Passo 5

Para montar [[T]_{A}^{B}) aplicamos T a cada vetor de A e expressamos o resultado na base B.
  1. Para p_{1}=3x^{2}-2x+1 ( a=3,b=-2,c=1):
T(p_{1}) = (3-(-2)-2\cdot1,\;3\cdot3+2(-2)-1) = (3,\,4).
Procuramos (\alpha,\beta) tais que
\alpha(-1,1)+\beta(1,-2) = (3,4).
Do sistema
\begin{cases} -\,\alpha + \beta = 3,\\\ \alpha - 2\beta = 4 \end{cases}
vem \alpha=-10\], \[\beta=-7.
  1. Para p_{2}=x^{2}+2x ( a=1,b=2,c=0):
T(p_{2}) = (1-2,\;3+4) = (-1,\,7).
Resolvendo
\begin{cases} -\,\alpha + \beta = -1,\\\ \alpha - 2\beta = 7 \end{cases}
obtém-se \alpha=-5\], \[\beta=-6.
  1. Para p_{3}=x-3 ( a=0,b=1,c=-3):
T(p_{3}) = (0-1-2(-3),\;0+2-(-3)) = (5,\,5).
Do sistema
\begin{cases} -\,\alpha + \beta = 5,\\\ \alpha - 2\beta = 5 \end{cases}
vem \alpha=-15\], \(\beta=-10.
Portanto, em relação a A e B,
[T]_{A}^{B} = \begin{pmatrix} -10 & -5 & -15\\\\ -7 & -6 & -10 \end{pmatrix},
onde cada coluna é o par (\alpha,\beta) obtido acima.

Resposta

a) \displaystyle \ker(T)=\mathrm{span}\{\,x^{2}-x+1\}. Como o núcleo é não trivial, T não é injetora.
b) \displaystyle \Im(T)=\mathbb R^{2}. Logo T é sobrejetora.
c)
[T]_{A}^{B} = \begin{pmatrix} -10 & -5 & -15\\\\ -7 & -6 & -10 \end{pmatrix}.

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