Considere a transformação linear T: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a-b-2 c, 3 a+2 b-c)
a) Ache o núcleo de T. A transformação é injetora?
b) Encontre a imagem de T. A transformação é sobrejetora?
c) Ache a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} onde as bases A e B são:
\begin{gathered} A=\left\{3 x^{2}-2 x+1, x^{2}+2 x, x-3\right\} \text { base de } \mathbb{P}_{2} \\\ B=\{(-1,1),(1,-2)\} \text { base de } \mathbb{R}^{2} \end{gathered}
Passo 1
O enunciado fornece uma transformação linear T\colon \mathbb{P}_{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
Para achar \ker(T)\) resolvemos o sistema
\[\begin{cases} a - b - 2c = 0,\\\\ 3a + 2b - c = 0. \end{cases}
Da primeira equação a = b + 2c\]. Substituindo na segunda:
\[3(b+2c) + 2b - c = 0 \;\Longrightarrow\; 5b + 5c = 0 \;\Longrightarrow\; b = -c,\]
logo \(a = b + 2c = -c + 2c = c. Assim
Como \ker(T) não é apenas o vetor zero (tem dimensão 1), T não é injetora.
Passo 4
Pela fórmula do teorema da dimensão (\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=\dim\mathbb P_{2}=3) e já tendo \dim\ker(T)=1, segue \dim\Im(T)=2. Como \mathbb R^{2} tem dimensão 2, concluímos
\Im(T)=\mathbb R^{2},
ou seja, T é sobrejetora.
Passo 5
Para montar [[T]_{A}^{B}) aplicamos T a cada vetor de A e expressamos o resultado na base B.
onde cada coluna é o par (\alpha,\beta) obtido acima.
Resposta
a) \displaystyle \ker(T)=\mathrm{span}\{\,x^{2}-x+1\}. Como o núcleo é não trivial, T não é injetora.
b) \displaystyle \Im(T)=\mathbb R^{2}. Logo T é sobrejetora.
c)