( 1,0 pt ) Determine se a função abaixo é contínua ou descontínua em seu domínio. Diga qual é o domínio. Se for descontínua, determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina-a de tal modo que a descontinuidade seja removida.
g(x)=raizx^2-9x^2-2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função
g(x)=raizx^2-9x^2-2
no seu domínio. O conteúdo é continuidade de funções reais, e vamos precisar (1) determinar o domínio exigindo x^2-9>=0 e x^2-2neq0 e (2) usar o fato de que soma, produto, raiz e quociente (quando o denominador é não nulo) de funções contínuas são contínuos.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos duas condições:
  1. Dentro da raiz tem que ser não negativo:
x^2-9>=0 Longrightarrow x<= -3ou x>=3
  1. O denominador não pode ser zero:
x^2-2neq0 Longrightarrow xneqpmraiz2
Como pmraiz2 está entre -3 e 3, ele já não pertence à região x<=-3 nem a x>=3. Logo o domínio é
Dom(g)=(-infty,-3];cup;[3,infty)

Passo 3

Em cada ponto do domínio temos x^2-9>=0, então xmapstoraizx^2-9 é contínua ali, e xmapsto x^2-2 é um polinômio contínuo nunca nulo no domínio. O quociente de funções contínuas (com denominador não nulo) é contínuo. Portanto g é contínua em todo o seu domínio; não existem pontos de descontinuidade nem removíveis nem essenciais dentro de Dom(g).

Resposta

O domínio é (-infty,-3]cup[3,infty), e g é contínua em todo esse domínio. Não há descontinuidade.

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