Ache o limite das funções racionais.
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{2-4 x}{(x-5)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to5}\frac{2-4x}{(x-5)^{2}}.
Estamos diante de um limite de função racional onde o numerador tende a um valor finito e o denominador tende a zero. Vamos analisar separadamente o comportamento de cada parte para concluir o limite.

Passo 2

Calculemos primeiro o limite do numerador:
\lim_{x\to5}(2-4x)=2-4\cdot5=2-20=-18.
Em seguida, o limite do denominador:
\lim_{x\to5}(x-5)^{2}=0.
Além disso, como (x-5)^{2} é sempre não negativo e próximo de zero, o denominador se aproxima de 0 por valores positivos.

Passo 3

Como o numerador tende a -18 (valor negativo) e o denominador tende a zero positivo, a fração
\frac{2-4x}{(x-5)^{2}}
fica com numerador negativo dividido por algo muito pequeno e positivo, o que faz a expressão divergir para -\infty.

Resposta

\lim_{x\to5}\frac{2-4x}{(x-5)^{2}} = -\infty.

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