Ache os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{11-5 x-3 x^{2}-2 x^{3}}{7+4 x-5 x^{2}-8 x^{3}}}

Passo 1

O enunciado nos pede o limite
\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{11 - 5x - 3x^2 - 2x^3}{7 + 4x - 5x^2 - 8x^3}}.
O conteúdo é limites no infinito de quocientes de polinômios, uso de fatoração do maior termo e continuidade da função raiz em valores positivos.

Passo 2

Fatoramos x^3 em numerador e denominador para expor os termos de menor ordem:
11 - 5x - 3x^2 - 2x^3 = x^3\Bigl(-2 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{5}{x^2} + \tfrac{11}{x^3}\Bigr),
7 + 4x - 5x^2 - 8x^3 = x^3\Bigl(-8 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{7}{x^3}\Bigr).

Passo 3

Cancelando x^3 dentro da raiz, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{-2 - \tfrac{3}{x} - \tfrac{5}{x^2} + \tfrac{11}{x^3}}{-8 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{4}{x^2} + \tfrac{7}{x^3}} = \frac{-2}{-8} = \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Como \sqrt{\cdot} é contínua em (0,\infty) e o quociente tende a \tfrac14>0, temos
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{11 - 5x - 3x^2 - 2x^3}{7 + 4x - 5x^2 - 8x^3}} = \sqrt{\tfrac{1}{4}} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{2}

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