Ache os limites no infinito.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(\sqrt{x^{2}+2 x}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\ln\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}+x\bigr).
O conteúdo é análise de limites no infinito e uso de expansão assintótica para a raiz quadrada. Vamos precisar investigar o sinal e o comportamento de \sqrt{x^{2}+2x}+x quando x\to -\infty.

Passo 2

Primeiro, note que para x<0 temos
\sqrt{x^{2}+2x}\ge0 \quad\text{e}\quad x<0,
logo \sqrt{x^{2}+2x}+x é a diferença entre um não negativo e um número negativo. De fato, para x<0 sempre
\sqrt{x^{2}+2x}+x<0,
então o argumento do \ln fica negativo e a função não está definida nos reais quando x é suficientemente grande em módulo.

Passo 3

Mesmo assim, para estudar o comportamento assintótico do interior, expandimos
\sqrt{x^{2}+2x} =|x|\sqrt{1+\frac{2}{x}} =-x\sqrt{1+\frac{2}{x}} \quad(\text{pois }x<0\text{ implica }|x|=-x).
Para \displaystyle x\to -\infty usamos
\sqrt{1+\frac{2}{x}} =1+\frac{1}{x}+o\!\Bigl(\tfrac1x\Bigr).

Passo 4

Então
\sqrt{x^{2}+2x} =-x\Bigl(1+\tfrac1x+o(1/x)\Bigr) =-x-1+o(1),
e portanto
\sqrt{x^{2}+2x}+x =(-x-1+o(1))+x =-1+o(1).
Ou seja, o interior da função \ln tende a -1 quando x\to -\infty.

Passo 5

Como \sqrt{x^{2}+2x}+x<0 e tende a -1, não há limite real de \ln\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}+x\bigr). Se quisermos estender ao complexo,
\lim_{x\to -\infty}\ln\bigl(\sqrt{x^{2}+2x}+x\bigr) =\ln(-1) =i\pi,
mas no domínio real o limite não existe.

Resposta

O limite não existe no conjunto dos números reais.

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