Ache o limite indicado, se ele existir.
\mathbf{R}(t)=(t-2) \mathbf{i}+\frac{t^{2}-4}{t-2} \mathbf{j} ; \lim _{t \rightarrow 2} \mathbf{R}(t)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial \displaystyle \mathbf{R}(t) = (t-2)\,\mathbf{i} + \frac{t^2 - 4}{\,t-2\,}\,\mathbf{j}
quando t \to 2. Vamos usar que o limite de uma função vetorial existe se e somente se existem os limites de cada componente, e então \displaystyle \lim_{t\to2}\mathbf{R}(t) = \lim_{t\to2}\bigl(x(t)\bigr)\,\mathbf{i} + \lim_{t\to2}\bigl(y(t)\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 2

A componente em \mathbf{j} é
\frac{t^2 - 4}{\,t-2\,}.
Note que t^2 - 4 é diferença de quadrados, logo
t^2 - 4 = (t-2)(t+2).

Passo 3

Para t \neq 2 podemos simplificar:
\frac{t^2 - 4}{\,t-2\,} = \frac{(t-2)(t+2)}{\,t-2\,} = t+2.
Assim, para t\neq2,
\mathbf{R}(t) = (t-2)\,\mathbf{i} + (t+2)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Agora calculamos os limites das duas componentes separadamente:
\lim_{t\to2}(t-2) = 0, \qquad \lim_{t\to2}(t+2) = 4.
Portanto,
\lim_{t\to2}\mathbf{R}(t) = 0\;\mathbf{i} + 4\;\mathbf{j}.

Resposta

\lim_{t\to2}\mathbf{R}(t) = 0\,\mathbf{i} + 4\,\mathbf{j}.

Exercícios relacionados