( \mathbf{1 , 5} pontos) Dada a função
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+3}},
determine, se possível, as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico da mesma.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+3}}.
O conteúdo envolvido é análise de domínio e cálculo de limites em pontos críticos e no infinito para identificar linhas do tipo x=a (verticais) e y=L (horizontais).

Passo 2

Para identificar possíveis assíntotas verticais, primeiro determinamos o domínio de f. Como o denominador \sqrt{x+3} exige
x+3\ge 0,
o domínio é
\{x\mid x\ge -3\}=[-3,\infty).
O único ponto onde f deixa de estar definida é x=-3.

Passo 3

Testamos se x=-3 gera assíntota vertical, calculando
\lim_{x\to -3^{+}}f(x) =\lim_{x\to -3^{+}}\frac{x^{2}}{\sqrt{x+3}}.
Quando x\to -3^{+}, o numerador tende a (-3)^{2}=9 e o denominador a 0^{+}, logo
\lim_{x\to -3^{+}}f(x)=+\infty.
Isso confirma que a reta x=-3 é assíntota vertical.

Passo 4

Para assíntota horizontal, avaliamos
\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{\sqrt{x+3}} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{x^{1/2}\sqrt{1+3/x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3/2}}{\sqrt{1+3/x}}.
Como x^{3/2}\to\infty e \sqrt{1+3/x}\to1, obtemos
\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty,
ou seja, não há valor finito L tal que f(x)\to L. Portanto, não existe assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=-3.
Não há assíntota horizontal.

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