Ache o limite das sequências abaixo e justifique.
a_{n}=\frac{n!}{n^{n}},\left(\right. Dica: compare \,\operatorname{com} \frac{1}{n})

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}
quando n\to\infty. O conteúdo principal é limites de sequências e o uso do teorema do confronto (squeeze theorem) por comparação com \tfrac{1}{n}.

Passo 2

Observe que
\frac{n!}{n^{n}} =\frac{1}{n}\,\frac{2}{n}\,\frac{3}{n}\cdots\frac{n-1}{n}\,\frac{n}{n}.
Como para todo k=1,2,\dots,n vale \tfrac{k}{n}\le1, cada fator exceto o primeiro não passa de 1. Portanto
0\le \frac{n!}{n^{n}}\le \frac{1}{n}\cdot1\cdot1\cdots1 =\frac{1}{n}.

Passo 3

Pelo teorema do confronto, sabendo que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
e que 0\le a_{n}\le\frac{1}{n}, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

\displaystyle 0

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