Ache o limite das sequências abaixo e justifique.
a_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n}=\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n}
quando n\to\infty. O conteúdo principal aqui é reconhecer que sequências da forma \bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^{n} estão ligadas à constante e e usar propriedades da função logarítmica e da exponencial para encontrar o limite.

Passo 2

Para explorar essa ligação, reescrevemos a_{n} usando a função exponencial e o logaritmo natural, sabendo que \exp é contínua:
a_{n} =\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} =\exp\Bigl(\ln\bigl((1-\tfrac{1}{n})^{n}\bigr)\Bigr) =\exp\Bigl(n\,\ln\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)\Bigr).
Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\exp\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}n\,\ln\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)\Bigr),
desde que o limite interno exista.

Passo 3

Calculemos
L=\lim_{n\to\infty}n\,\ln\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr).
Use a forma padrão do limite \ln(1+x)/x\to1 quando x\to0. Aqui tomamos x=-\tfrac{1}{n}, que vai a 0. Assim,
\frac{\ln\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)}{-\tfrac{1}{n}} \;\longrightarrow\;1 \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr) \sim -\frac{1}{n} \quad(n\to\infty).
Multiplicando por n,
n\,\ln\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)\;\longrightarrow\;-1.
Portanto L=-1.

Passo 4

Voltando à sequência,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\exp(L) =\exp(-1) =\frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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