Ache os limites.
lim x 0 cos (1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0cos!l(tfrac1xr).
Este é um problema de limites de função oscilante quando o argumento tende a infinito.

Passo 2

Note que, quando xto0, temos tfrac1xtopminfty.
Como a função cos(t) oscila entre -1 e 1 para ttopminfty, esperamos oscilações infinitas em cos!l(tfrac1xr) sem convergir a um valor único.

Passo 3

Para demonstrar a falta de limite, escolhemos duas sequências que tendem a zero mas dão valores diferentes de cosseno:
  • Tome xn=tfrac12pi n. Então xnto0 e
cos!(tfrac1xn) =cos(2pi n)=1
  • Tome yn=tfrac1(2n+1)pi. Então ynto0 e
cos!(tfrac1yn) =cos((2n+1)pi)=-1

Passo 4

Como ao aproximar xto0 pelas sequências xn obtemos limite 1 e pelas sequências yn obtemos limite -1, não há um único valor de limite. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite limxto0cos!l(tfrac1xr) não existe.

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