Utilizando a definição e as propriedades de produto escalar, calcular o módulo dos vetores u+v e u-v, sabendo que |u|=3 e |v|=4, e o ângulo entre u e v é 60 graus.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcularmos o módulo (comprimento) dos vetores u + v e u - v. Para isso, vamos usar o produto escalar. Sabemos que |u| = 3, |v| = 4 e o ângulo entre u e v é de 60 graus. Vamos precisar lembrar das propriedades do produto escalar e como ele se relaciona com o comprimento dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o módulo de um vetor a é dado por |a| = raiza cdot a. Então, para encontrar |u + v|, precisamos calcular (u + v) cdot (u + v).

Passo 3

Vamos expandir o produto escalar:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2,u cdot v + v cdot v
Sabemos que u cdot u = |u|^2 = 9 e v cdot v = |v|^2 = 16.

Passo 4

Agora, precisamos calcular u cdot v. A fórmula do produto escalar também é:
u cdot v = |u|,|v|,cos(theta)
Onde theta = 60^circ. Então:
u cdot v = 3 times 4 times cos(60^circ) = 12 times 0,5 = 6

Passo 5

Voltando à expressão expandida:
(u + v) cdot (u + v) = 9 + 2 times 6 + 16 = 9 + 12 + 16 = 37
Então, |u + v| = raiz37.

Passo 6

Vamos agora calcular |u - v| de forma similar. Expandindo o produto escalar:
(u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2,u cdot v + v cdot v
Substituindo os valores:
(u - v) cdot (u - v) = 9 - 2 times 6 + 16 = 9 - 12 + 16 = 13
Então, |u - v| = raiz13.

Resposta

O módulo de u + v é raiz37 e o módulo de u - v é raiz13.

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