rl 4 x+3 y-z+5 t & =0 2 x-y+z-t & =0 6 x+2 y+4 t & =0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo de quatro incógnitas x,y,z,t e três equações lineares. O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para sistemas lineares e expressão do conjunto solução em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Escrevemos as três equações:
4x+3y - z +5t =0, 2x - y + z - t =0, 6x+2y ;;+;0!cdot z +4t =0
Note que, somando a primeira com a segunda, obtemos
(4x+3y - z +5t)+(2x - y + z - t)=6x+2y+4t=0,
que é exatamente a terceira equação. Logo, só temos duas equações independentes e quatro incógnitas.

Passo 3

Da segunda equação isolamos z:
2x - y + z - t =0 Longrightarrow z = -2x + y + t

Passo 4

Substituímos esse z na primeira equação:
4x+3y -l(-2x + y + tr) +5t =0 Longrightarrow 4x+3y+2x -y -t +5t =0
Longrightarrow 6x+2y+4t=0 Longrightarrow 3x+y+2t=0 Longrightarrow y = -3x -2t

Passo 5

Como temos quatro variáveis e apenas duas equações independentes, vamos escolher dois parâmetros livres, digamos
x = r, t = s
Então
y = -3r -2s, z = -2r +y +s = -2r +(-3r-2s)+s = -5r - s
Portanto o vetor solução (x,y,z,t) fica
(x,y,z,t) = r,(1,-3,-5,0) ;+; s,(0,-2,-1,1),
onde r,sinR.

Resposta

O conjunto solução é
,r,(1,-3,-5,0)+s,(0,-2,-1,1)mid r,sinR

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