Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=x^{2}+x-3, então calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}

Passo 1

O enunciado fornece a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^2+x-3
e pede o limite
L = \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Isso corresponde ao quociente de diferença, que é a definição de derivada de f em x=2, mas vamos resolver fatorando e simplificando.

Passo 2

Calculamos f(2):
f(2)=2^2+2-3=4+2-3=3.

Passo 3

Montamos o quociente e fatoramos o numerador:
\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{x^2+x-3-3}{x-2} = \frac{x^2+x-6}{x-2} = \frac{(x-2)(x+3)}{x-2} = x+3
para x\neq2.

Passo 4

Como para x\neq2 o quociente é x+3, basta fazer x\to2:
L = \lim_{x\to2}(x+3)=2+3=5.

Resposta

5

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