Ache os limites lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e lim x a f(x), caso existam.
Encontre os limites laterais.
\lim _{x \rightarrow-2^{-}}(x+3) \frac{|x+2|}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os limites laterais de
f(x) = (x+3),lvert x+2rvertx+2
quando x se aproxima de -2 pela esquerda ( xto -2^-) e pela direita ( xto -2^+), e então verificar se o limite total em x=-2 existe. Este problema envolve manipular o valor absoluto para reescrever a função em forma “piecewise”.

Passo 2

Para lidar com o valor absoluto, escrevemos
lvert x+2rvertx+2 = -1, & x+2<0, 1, & x+2>0

Passo 3

Quando xto -2^-, temos x+2<0, logo
lvert x+2rvertx+2 = -1
f(x) = (x+3),(-1) = -(x+3)
Fazendo xto -2 neste ramo, x+3to 1, então
limxto -2^-f(x) = -1cdot 1 = -1

Passo 4

Quando xto -2^+, temos x+2>0, então
lvert x+2rvertx+2 = 1,
e
f(x) = (x+3),(1) = x+3
Fazendo xto -2, x+3to 1, portanto
limxto -2^+f(x) = 1

Passo 5

Para que o limite limxto -2f(x) exista, é preciso que
limxto -2^-f(x) e limxto -2^+f(x) sejam iguais. Aqui obtemos valores diferentes ( -1neq 1), logo o limite total não existe.

Resposta

limxto -2^-f(x) = -1
limxto -2^+f(x) = 1
limxto -2f(x) não existe.

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