Ache os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-2}{3+x y}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}-2}{3+xy}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é limite em \mathbb{R}^2, e vamos usar o fato de que, se o denominador tende a um valor não nulo, podemos simplesmente substituir.

Passo 2

Calculamos o limite do numerador quando (x,y)\to(0,0). Como não depende de y, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}-2\bigr) =\;0^{2}-2\;=\;-2.

Passo 3

Calculamos o limite do denominador quando (x,y)\to(0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(3+xy\bigr) =\;3+0\cdot0\;=\;3.
Note que esse valor é diferente de zero, garantindo que não há indeterminação do tipo divisão por zero.

Passo 4

Como o denominador tende a um número não nulo, a função é contínua nessa vizinhança, e o limite do quociente é o quociente dos limites. Logo,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-2}{3+xy} =\frac{-2}{3}.

Resposta

-\frac{2}{3}

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