Ache m para que u, v e w sejam coplanares:
(1) u=(m, 1, m+1), v=(1,2, m) e w=(1,1,1)
(2) u=(m, 1, m+1), v=(0,1, m) e w=(0, m, 2 m)

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que os vetores u,v,w sejam coplanares. Três vetores em R^3 são coplanares se e só se o produto misto deles for zero. Esse produto misto é dado pelo determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de u,v,w.

Passo 2

Para o item (1), tomamos
u=(m,1,m+1), v=(1,2,m), w=(1,1,1)
e calculamos
det m & 1 & m+1 1 & 2 & m 1 & 1 & 1 = m(2cdot1 - mcdot1);-;1(1cdot1 - mcdot1);+;(m+1)(1cdot1 - 2cdot1)
Fazendo as contas:
= m(2 - m);-;(1 - m);+;(m+1)(-1) =2m - m^2 -1 + m - m -1 =-m^2 + 2m -2
A condição de coplanaridade é
-m^2 + 2m -2 = 0

Passo 3

Resolvendo
-m^2 + 2m -2 = 0 ;Long<=ftrightarrow; m^2 - 2m + 2 = 0
o discriminante é De<a = 4 - 8 = -4. Como De<a<0, não há solução real. Portanto, para o item (1) não existe minR.

Passo 4

Para o item (2), temos
u=(m,1,m+1), v=(0,1,m), w=(0,m,2m),
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det m & 1 & m+1 0 & 1 & m 0 & m & 2m = mdet 1 & m m & 2m = ml(1cdot2m - mcdot mr) = m(2m - m^2) = m^2(2 - m)
A condição de coplanaridade é
m^2(2 - m) = 0

Passo 5

Da equação m^2(2 - m)=0 vêm as soluções
m=0 ou m=2

Resposta

(1) Não existe valor real de m.
(2) m=0 ou m=2.

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