Dado o espaço vetorial R4, considere os conjuntos de vetores e , (contidos no espaço) e um vetor genérico definido por .
Determine o subespaço R³ gerado pelos vetores em termos das restrições sobre as componentes de .
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de gerado pelos vetores , e .
Para descrever esse subespaço em termos de restrições sobre as componentes de , vamos impor que exista tal que
Passo 2
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
Da primeira equação sai
-3a+3b=z1 Longrightarrow b=a+z13
Passo 3
Das equações de
Substituindo (b=a+z_1/3] e resolvendo, chegamos a
Passo 4
Por fim, substituímos a,b,c na equação de z2, que é
z2=a+2b+tfrac43,c
Fazendo a conta, obtemos
z2=2527,z1-179,z3-163,z4
Multiplicando ambos os lados por 27 e reunindo termos, a única condição linear sobre z fica
25,z1-27,z2-51,z3-144,z4=0
Resposta
O subespaço gerado por u1,u2,u3 é o hiperplano de dimensão 3 dado por