Dado o espaço vetorial R4, considere os conjuntos de vetores U=u 1, u 2, u 3 e V=v 1, v 2, v 3 (contidos no espaço) e um vetor genérico z in R 4 definido por z=(z 1, z 2, Z 3, z 4).
ll u 1=(-3,1,-2,0) & v 1=(-3,2 / 3,1,-1) u 2=(3,2,-1,1 / 2) & v 2=(2,-7,-1 / 4,-1 / 4) u 3=(0,4 / 3,4,-5 / 3) & v 3=(0,-1,2 / 3,-5 / 4)
Determine o subespaço R³ gerado pelos vetores u 1, u 2, u 3 em termos das restrições sobre as componentes de z.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
u1=(-3,1,-2,0), u2=(3,2,-1,tfrac12) e u3=(0,tfrac43,4,-tfrac53).
Para descrever esse subespaço em termos de restrições sobre as componentes de z=(z1,z2,z3,z4), vamos impor que exista (a,b,c)inR^3 tal que
z=a,u1+b,u2+c,u3

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
z1=-3a+3b+0c, z2=;1a+2b+tfrac43,c, z3=-2a,-b+4c, z4=;0a+tfrac12b-tfrac53,c
Da primeira equação sai
-3a+3b=z1 Longrightarrow b=a+z13

Passo 3

Das equações de
Substituindo (b=a+z_1/3] e resolvendo, chegamos a

Passo 4

Por fim, substituímos a,b,c na equação de z2, que é
z2=a+2b+tfrac43,c
Fazendo a conta, obtemos
z2=2527,z1-179,z3-163,z4
Multiplicando ambos os lados por 27 e reunindo termos, a única condição linear sobre z fica
25,z1-27,z2-51,z3-144,z4=0

Resposta

O subespaço gerado por u1,u2,u3 é o hiperplano de dimensão 3 dado por
(z1,z2,z3,z4)inR^4 mid 25,z1-27,z2-51,z3-144,z4=0

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