Supondo a e b não nulos, demonstre algebricamente:
|a cdot b| <=||a|| cdot| | b| | (desigualdade de Schwarz)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar algebricamente que, dadas duas vetores não nulos vec a e vec b, vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
|vec a cdot vec b| <= |vec a|,|vec b|
Vamos usar propriedades do produto escalar e o fato de que a norma ao quadrado é não negativa.

Passo 2

Considere a função real definida por
f(t) = |vec a + t,vec b|^2
Pela definição de norma e produto escalar, expandimos:
f(t) = (vec a + t,vec b)cdot(vec a + t,vec b) = |vec a|^2 + 2,t,(vec acdotvec b) + t^2,|vec b|^2

Passo 3

Como |vec a + t,vec b|^2>=0 para todo tin R, o polinômio
|vec b|^2,t^2 +2(vec acdotvec b),t + |vec a|^2
não admite raízes reais distintas, logo seu discriminante satisfaz
De<a = 4(vec acdotvec b)^2 ;-;4,|vec a|^2,|vec b|^2 ;<=;0
Isto implica
(vec acdotvec b)^2 <= |vec a|^2,|vec b|^2

Passo 4

Basta extrair raiz quadrada em ambos os lados e usar |vec a|, |vec b|>=0:
|vec acdotvec b| <= |vec a|,|vec b|

Resposta

|vec acdotvec b| <= |vec a|,|vec b|

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