Supondo
e
não nulos, demonstre algebricamente:
(desigualdade de Schwarz)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar algebricamente que, dadas duas vetores não nulos
e
, vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Vamos usar propriedades do produto escalar e o fato de que a norma ao quadrado é não negativa.
Passo 2
Considere a função real definida por
Pela definição de norma e produto escalar, expandimos:
Passo 3
Como
|vec a + t,vec b|^2>=0 para todo
tin R , o polinômio
não admite raízes reais distintas, logo seu discriminante satisfaz
Isto implica
Passo 4
Basta extrair raiz quadrada em ambos os lados e usar
|vec a| ,
|vec b|>=0 :