Para u, v e w, vetores, alpha, beta, gamma, x, y, z in R, mostre que
(alpha u+beta v+gamma w) wed>=(x u+y v+z w)=|cc alpha & beta x & y |(u wed>= v)+|cc alpha & gamma x & z |(u wed>= w)+|cc beta & gamma y & z |(v wed>= w)

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte identidade de produto exterior (wedge) para quaisquer vetores u,v,w e escalares alpha,beta,gamma,x,y,zinR:
(alpha u+beta v+gamma w)wed>=(x u+y v+z w) =alpha & beta x & y(uwed>=v) +alpha & gamma x & z(uwed>=w) +beta & gamma y & z(vwed>=w)
Para resolver, vamos usar duas propriedades fundamentais do produto exterior:
  1. Bilinearidade em cada fator, isto é,
    ,(A+B)wed>= C = Awed>= C + Bwed>= C e Awed>=(B+C)=Awed>= B + Awed>= C
  2. Antissimetria, Awed>= A=0 e Bwed>= A = -,Awed>= B

Passo 2

Aplicando bilinearidade, expandimos
(alpha u+beta v+gamma w)wed>=(x u+y v+z w)
em todos os produtos (termo da soma 1)wed>=(termo da soma 2). Obtemos nove somandos:
alpha x,(uwed>=u) +alpha y,(uwed>=v) +alpha z,(uwed>=w) +beta x,(vwed>=u) +beta y,(vwed>=v) +beta z,(vwed>=w) +gamma x,(wwed>=u) +gamma y,(wwed>=v) +gamma z,(wwed>=w)

Passo 3

Pela antissimetria temos uwed>=u=0, vwed>=v=0, wwed>=w=0. Além disso,
vwed>=u=-,uwed>=v e wwed>=u=-,uwed>=w, wwed>=v=-,vwed>=w.
Logo só restam os termos mistos uwed>=v, uwed>=w e vwed>=w.

Passo 4

Coeficiente de uwed>=v:
alpha y;+;beta x,(-1) =alpha y-beta x =alpha & beta x & y

Passo 5

Coeficiente de uwed>=w:
alpha z;+;gamma x,(-1) =alpha z-gamma x =alpha & gamma x & z
Coeficiente de vwed>=w:
beta z;+;gamma y,(-1) =beta z-gamma y =beta & gamma y & z

Resposta

(alpha u+beta v+gamma w)wed>=(x u+y v+z w) =alpha & beta x & y(uwed>=v) +alpha & gamma x & z(uwed>=w) +beta & gamma y & z(vwed>=w)

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