Ache a massa da parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante, se a densidade em qualquer ponto (x, y, z) sobre a superfície for k x^2 k g / m^2, onde k é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a massa da parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante. Isso significa que x , y e z são todos maiores ou iguais a zero. A densidade em qualquer ponto desse plano é dada por rho(x, y, z) = k x^2 kg/m², onde k é uma constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, especificamente integrando a densidade sobre a região do plano no primeiro octante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. O plano x + y + z = 1 intercepta os eixos em pontos onde duas das coordenadas são zero. No primeiro octante, isso significa que as interceptações são:
  • Quando y = 0 e z = 0 , então x = 1 .
  • Quando x = 0 e z = 0 , então y = 1 .
  • Quando x = 0 e y = 0 , então z = 1 .
Então, a região que vamos integrar está dentro do triângulo formado por esses três pontos no primeiro octante.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o plano para facilitar a integração. Podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis. Vamos resolver para z :
z = 1 - x - y
Com isso, podemos expressar z em termos de x e y , o que nos permitirá integrar sobre x e y .

Passo 4

A massa M é dada pela integral da densidade sobre a área da superfície. Então, temos:
M = integral duplaS rho(x, y, z) , dS
Onde S é a região do plano no primeiro octante. Como já expressamos z em termos de x e y , podemos reescrever a integral em termos de x e y .

Passo 5

Para mudar a integral para coordenadas x e y , precisamos encontrar o elemento de área dS . No caso de um plano expresso como z = f(x, y) , temos:
dS = raiz ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 + 1 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1
Então:
dS = raiz (-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy

Passo 6

Substituindo tudo na expressão da massa:
M = integral duplaD rho(x, y, z) , dS = integral duplaD k x^2 cdot raiz3 , dx , dy = k raiz3 integral duplaD x^2 , dx , dy
Onde D é a projeção da região S no plano xy .

Passo 7

Agora precisamos determinar os limites de integração para x e y . Como z = 1 - x - y >= 0 no primeiro octante, temos:
x + y <= 1
E claro, x >= 0 e y >= 0 .
Então, para cada valor de x de 0 a 1, y varia de 0 a 1 - x .

Passo 8

Vamos escrever a integral dupla com esses limites:
M = k raiz3 integral0^1 integral0^1 - x x^2 , dy , dx
Primeiro integramos em relação a y .

Passo 9

Integrando em relação a y :
integral0^1 - x x^2 , dy = x^2 cdot y g|0^1 - x = x^2 (1 - x) - x^2 (0) = x^2 (1 - x)

Passo 10

Agora, a massa fica:
M = k raiz3 integral0^1 x^2 (1 - x) , dx
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
x^2 (1 - x) = x^2 - x^3
Então:
M = k raiz3 integral0^1 (x^2 - x^3) , dx

Passo 11

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 x^2 , dx = x^33 g|0^1 = 13
integral0^1 x^3 , dx = x^44 g|0^1 = 14
Então:
integral0^1 (x^2 - x^3) , dx = 13 - 14 = 412 - 312 = 112

Passo 12

Substituindo de volta na expressão da massa:
M = k raiz3 cdot 112 = k raiz312

Resposta

A massa da parte do plano no primeiro octante é M = k raiz312 kg.

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