Ache a massa da parte do plano no primeiro octante, se a densidade em qualquer ponto sobre a superfície for , onde é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a massa da parte do plano que está no primeiro octante. Isso significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. A densidade em qualquer ponto desse plano é dada por kg/m², onde é uma constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de integrais de superfície, especificamente integrando a densidade sobre a região do plano no primeiro octante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. O plano intercepta os eixos em pontos onde duas das coordenadas são zero. No primeiro octante, isso significa que as interceptações são:
Quando e , então .
Quando e , então .
Quando e , então .
Então, a região que vamos integrar está dentro do triângulo formado por esses três pontos no primeiro octante.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o plano para facilitar a integração. Podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis. Vamos resolver para :
Com isso, podemos expressar em termos de e , o que nos permitirá integrar sobre e .
Passo 4
A massa é dada pela integral da densidade sobre a área da superfície. Então, temos:
Onde é a região do plano no primeiro octante. Como já expressamos em termos de e , podemos reescrever a integral em termos de e .
Passo 5
Para mudar a integral para coordenadas e , precisamos encontrar o elemento de área . No caso de um plano expresso como , temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 6
Substituindo tudo na expressão da massa:
Onde é a projeção da região no plano .
Passo 7
Agora precisamos determinar os limites de integração para e . Como no primeiro octante, temos:
E claro, e .
Então, para cada valor de de 0 a 1, varia de 0 a .
Passo 8
Vamos escrever a integral dupla com esses limites: