Calcule a integral de superfície
, onde
é a esfera unitária
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície
, onde
é a esfera unitária definida por
. Esse problema está no âmbito do Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de superfície. Para resolvê-lo, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície e como calcular a área de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que significa a integral
. Aqui,
representa um elemento infinitesimal de área na superfície
. A expressão
pode ser entendida como o quadrado da distância de um ponto na superfície até a origem.
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma esfera unitária, ou seja,
, a distância de qualquer ponto na superfície até a origem é sempre 1. Portanto,
para todo ponto em
.
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Isso simplifica a integral para a área total da superfície da esfera
.
Passo 5
Sabemos que a área de uma esfera de raio
é dada por
. No caso da esfera unitária, o raio
. Assim, a área da esfera é:
Resposta
O valor da integral é
.