Calcule a integral de superfície integralegral duplaS d^2 d S, onde S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS d^2 , dS, onde S é a esfera unitária definida por x^2+y^2+z^2=1. Esse problema está no âmbito do Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de superfície. Para resolvê-lo, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície e como calcular a área de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa a integral integral duplaS d^2 , dS. Aqui, dS representa um elemento infinitesimal de área na superfície S. A expressão d^2 pode ser entendida como o quadrado da distância de um ponto na superfície até a origem.

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma esfera unitária, ou seja, x^2+y^2+z^2=1, a distância de qualquer ponto na superfície até a origem é sempre 1. Portanto, d = 1 para todo ponto em S.

Passo 4

Substituindo d = 1 na integral, temos:
integral duplaS d^2 , dS = integral duplaS 1^2 , dS = integral duplaS 1 , dS
Isso simplifica a integral para a área total da superfície da esfera S.

Passo 5

Sabemos que a área de uma esfera de raio r é dada por 4pi r^2. No caso da esfera unitária, o raio r = 1. Assim, a área da esfera é:
Área = 4pi (1)^2 = 4pi Á

Resposta

O valor da integral é 4pi.

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