(a) Deduza a seguinte fórmula, onde é um número real qualquer.
(b) Use a fórmula da parte (a) para calcular .
Passo 1
O enunciado pede para achar a integral de para um qualquer e depois aplicar o resultado em . O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que diz que
para funções e .
Passo 2
Escolhemos para :
Assim
e aplicamos a fórmula de partes.
Passo 3
Aplicando partes temos
Dentro da integral simplifica: .
Passo 4
Continuando a simplificação:
Logo para obtemos
Passo 5
Para o caso especial a integral vira . Usamos a substituição
e obtemos