(a) Deduza a seguinte fórmula, onde r é um número real qualquer.
integral x^prime ln x d x=ll x^r+1r+1 ln x-x^r+1(r+1)^2+C & se r neq-1 12(ln x)^2+C & se r=-1
(b) Use a fórmula da parte (a) para calcular integral x^3 ln x d x.

Passo 1

O enunciado pede para achar a integral de x^rln x para um r qualquer e depois aplicar o resultado em r=3. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que diz que
integral u,dv = u,v - integral v,du
para funções u(x) e v(x).

Passo 2

Escolhemos para rneq -1:

Assim

e aplicamos a fórmula de partes.

Passo 3

Aplicando partes temos
integral x^rln x,dx = u,v - integral v,du = ln xcdot x^r+1r+1 - integral x^r+1r+1cdot 1x,dx
Dentro da integral simplifica: x^r+1/x = x^r.

Passo 4

Continuando a simplificação:
integral x^rln x,dx = x^r+1r+1ln x - 1r+1integral x^r,dx = x^r+1r+1ln x - 1r+1cdot x^r+1r+1 + C
Logo para rneq -1 obtemos
x^r+1r+1ln x - x^r+1(r+1)^2 + C

Passo 5

Para o caso especial r=-1 a integral vira integral x^-1ln x,dx. Usamos a substituição
integral x^-1ln x,dx = integral t,dt = t^22 + C = 12(ln x)^2 + C
e obtemos
r=3
Por fim, basta usar o resultado de integral x^3ln x,dx = x^44ln x - x^416 + C :

Resposta

(a) Para qualquer real r:
integral x^rln x,dx = x^r+1r+1ln x - x^r+1(r+1)^2 + C, & rneq -1,[6pt] 12(ln x)^2 + C, & r = -1
(b) Para r=3:
integral x^3ln x,dx = x^44ln x - x^416 + C

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