Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de
(Dica: Pense na série geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita
e precisa descobrir para quais valores de
essa série dá convergência, ou seja, para quais
ela soma a um valor finito. Além disso, queremos calcular essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta matemática bem útil para somarmos termos que seguem uma certa razão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série
. Note que
é uma constante em relação à soma, porque não depende de
. Então, podemos fatorar
para fora da série:
Agora, temos uma série que é uma série geométrica, onde cada termo é
.
Passo 3
Entender quando uma série geométrica converge é chave aqui. Uma série geométrica da forma
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso, a razão
é
, e
. Isso significa que a nossa série converge para qualquer valor de
, já que a convergência depende apenas da razão
e não de
.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma de uma série geométrica que começa em
é:
Aplicando isso à nossa série, onde
:
Agora, lembrando que a série original tinha um
multiplicando essa soma:
Resposta
A série converge para todos os valores de
e a soma dela é
.