Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x (Dica: Pense na série geométrica).
sumn=1^infty x^33^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita sumn=1^infty x^33^n e precisa descobrir para quais valores de x essa série dá convergência, ou seja, para quais x ela soma a um valor finito. Além disso, queremos calcular essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma ferramenta matemática bem útil para somarmos termos que seguem uma certa razão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série sumn=1^infty x^33^n. Note que x^3 é uma constante em relação à soma, porque não depende de n. Então, podemos fatorar x^3 para fora da série:
sumn=1^infty x^33^n = x^3 sumn=1^infty (13)^n
Agora, temos uma série que é uma série geométrica, onde cada termo é (13)^n.

Passo 3

Entender quando uma série geométrica converge é chave aqui. Uma série geométrica da forma sumn=0^infty r^n converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. No nosso caso, a razão r é 13, e |13| = 13 < 1. Isso significa que a nossa série converge para qualquer valor de x, já que a convergência depende apenas da razão r e não de x.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula da soma de uma série geométrica que começa em n=1 é:
sumn=1^infty r^n = r1 - r
Aplicando isso à nossa série, onde r = 13:
sumn=1^infty (13)^n = 131 - 13 = 1323 = 12
Agora, lembrando que a série original tinha um x^3 multiplicando essa soma:
sumn=1^infty x^33^n = x^3 times 12 = x^32

Resposta

A série converge para todos os valores de x e a soma dela é x^32.

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