Calcule a integral de superfície integralegral duplaS x^2 z^2 d sigma, onde S é a parte do cone x^2+y^2=z^2 entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície integral duplaS x^2 z^2 , dsigma, onde S é a parte do cone x^2 + y^2 = z^2 entre os planos z=1 e z=2. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de superfície, especificamente em superfícies curvas como cones. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o cone, encontrar o elemento de área dsigma e então configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone x^2 + y^2 = z^2. Um jeito fácil de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta e z = r. Isso porque, no cone, z = raizx^2 + y^2, então podemos dizer que r = z.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dsigma para a superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é dado por:
dsigma = raiz(partial xpartial r)^2 + (partial ypartial r)^2 + (partial zpartial r)^2 , dr , dtheta
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial r = costheta, partial ypartial r = sintheta, partial zpartial r = 1
Então,
dsigma = raizcos^2theta + sin^2theta + 1 , dr , dtheta = raiz1 + 1 , dr , dtheta = raiz2 , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, x^2 z^2, em termos das coordenadas parametrizadas:
x = r costheta e z = r
Então,
x^2 z^2 = (r costheta)^2 cdot r^2 = r^2 cos^2theta cdot r^2 = r^4 cos^2theta

Passo 5

Agora, montamos a integral de superfície usando as expressões que encontramos:
integral duplaS x^2 z^2 , dsigma = integral0^2pi integral1^2 r^4 cos^2theta cdot raiz2 , dr , dtheta
Podemos tirar a constante raiz2 para fora da integral:
raiz2 integral0^2pi cos^2theta , dtheta cdot integral1^2 r^4 , dr

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em theta:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Isso porque cos^2theta tem média 12 em um período completo 2pi.
Agora, a integral em r:
integral1^2 r^4 , dr = [ r^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
raiz2 cdot pi cdot 315 = 31 raiz2 pi5

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac31, raiz2, pi5.

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