Calcule a integral de superfície
, onde
é a parte do cone
entre os
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do cone
entre os planos
e
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de superfície, especificamente em superfícies curvas como cones. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o cone, encontrar o elemento de área
e então configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cone
. Um jeito fácil de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Isso porque, no cone,
, então podemos dizer que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
para a superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que estamos integrando,
, em termos das coordenadas parametrizadas:
Então,
Passo 5
Agora, montamos a integral de superfície usando as expressões que encontramos:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Isso porque
tem média
em um período completo
.
Agora, a integral em
:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.