Ache a massa do sólido no primeiro octante interno ao cilindro x^{2}+y^{2}=4 x e sob a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. A densidade de massa por unidade de volume varia com a distância do plano x y, sendo medida em quilogramas por metro cúbico. Dica: \sin ^{4} \theta=\frac{3}{8}-\frac{1}{2} \cos (2 \theta)+\frac{1}{8} \cos (4 \theta)

Passo 1

O enunciado pede a massa de um sólido no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado internamente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4x e externamente pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16. A densidade varia com a distância ao plano xy, isto é, \delta(z)=z. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e configurar um integral triplo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. O cilindro
x^{2}+y^{2}=4x
torna-se
r^{2}=4r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=4\cos\theta\quad(\cos\theta\ge0).
No primeiro octante \theta vai de 0 a \pi/2. Assim, para cada \theta\in[0,\pi/2], r vai de 0 até 4\cos\theta.

Passo 3

Para cada (r,\theta) fixo, z varia de 0 até a esfera \sqrt{16-r^{2}}. A massa é
M=\iiint_{V} \delta(z)\,dV =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4\cos\theta}\int_{0}^{\sqrt{16-r^{2}}} z\;r\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{\sqrt{16-r^{2}}} z\,dz =\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{16-r^{2}}\bigr)^{2} =\frac{1}{2}\,(16-r^{2}).
Logo
M =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4\cos\theta} r\;\frac{1}{2}(16-r^{2}) \,dr\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4\cos\theta}\bigl(16r-r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{4\cos\theta}(16r-r^{3})\,dr =\Bigl[8r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\Bigr]_{0}^{4\cos\theta} =128\cos^{2}\theta-64\cos^{4}\theta.
Multiplicando por \tfrac12
\frac12\bigl(128\cos^{2}\theta-64\cos^{4}\theta\bigr) =64\cos^{2}\theta-32\cos^{4}\theta.
Portanto
M=\int_{0}^{\pi/2}\bigl(64\cos^{2}\theta-32\cos^{4}\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Usamos as integrais conhecidas
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4}, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta=\frac{3\pi}{16}.
Assim
M =64\cdot\frac{\pi}{4}-32\cdot\frac{3\pi}{16} =16\pi-6\pi =10\pi.

Resposta

A massa do sólido é 10\pi quilogramas.

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