Ache a massa do sólido no primeiro octante interno ao cilindro
e sob a esfera
. A densidade de massa por unidade de volume varia com a distância do plano
, sendo medida em quilogramas por metro cúbico. Dica:
Passo 1
O enunciado pede a massa de um sólido no primeiro octante (ou seja,
,
,
) limitado internamente pelo cilindro
e externamente pela esfera
. A densidade varia com a distância ao plano
, isto é,
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas
e configurar um integral triplo.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
,
. O cilindro
torna-se
No primeiro octante
vai de
a
. Assim, para cada
,
vai de
até
.
Passo 3
Para cada
fixo,
varia de
até a esfera
. A massa é
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Logo
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Multiplicando por
dá
Portanto
Passo 6
Usamos as integrais conhecidas
Assim
Resposta
A massa do sólido é
quilogramas.