(2,0) a) Encontre a série de Taylor de
centrada em
.
b) Encontre o raio e o intervalo de convergência associado.
Obs: Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.
b) Encontre o raio e o intervalo de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
em torno de
. O conteúdo é usar a fórmula
aplicada a
. Também precisamos extrair o raio de convergência
a partir da condição
, e depois verificar o comportamento nos extremos
.
Passo 2
Reescrevemos
Passo 3
Aplicando a série de Taylor de
com
, temos para
:
Passo 4
Multiplicando por
e somando
, obtemos a série de Taylor centrada em
:
Passo 5
O raio de convergência vem da condição
logo
Passo 6
Isso define o intervalo de convergência aberto
Nos extremos temos teste de convergência condicional: em
a série vira alternada e converge (gera
), em
diverge.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é
com raio de convergência
e intervalo de convergência
(convergência condicional em
, diverge em
).