(2,0) a) Encontre a série de Taylor de f(x)=2 \ln (x) centrada em a=3.
b) Encontre o raio e o intervalo de convergência associado.
Obs: Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_{n}(x) \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=2\ln(x) em torno de a=3. O conteúdo é usar a fórmula
\ln\bigl(1+u\bigr)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{u^{n}}{n},\quad |u|<1,
aplicada a u=(x-3)/3. Também precisamos extrair o raio de convergência R a partir da condição |u|<1, e depois verificar o comportamento nos extremos x=3\pm R.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=2\ln(x) =2\ln\bigl(3+(x-3)\bigr) =2\Bigl[\ln(3)+\ln\!\bigl(1+\tfrac{x-3}{3}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Aplicando a série de Taylor de \ln(1+u) com u=\tfrac{x-3}{3}, temos para |(x-3)/3|<1:
\ln\!\bigl(1+\tfrac{x-3}{3}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x-3}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Multiplicando por 2 e somando 2\ln(3), obtemos a série de Taylor centrada em 3:
f(x) =2\ln(3)+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x-3}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 5

O raio de convergência vem da condição
\Bigl|\tfrac{x-3}{3}\Bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-3|<3,
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R=3.

Passo 6

Isso define o intervalo de convergência aberto
3-3<x<3+3 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<6.
Nos extremos temos teste de convergência condicional: em x=6 a série vira alternada e converge (gera 2\ln6), em x=0 diverge.

Resposta

A série de Taylor de f(x)=2\ln(x) em torno de a=3 é
2\ln(3)+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x-3}{3}\Bigr)^{n},
com raio de convergência R=3 e intervalo de convergência \,0<x<6 (convergência condicional em x=6, diverge em x=0).

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