Calcule a integral \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \int_{0}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d x d y, transformando para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral triple
\int_{-1}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\!\int_{0}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dz\,dx\,dy
noção de coordenadas cilíndricas. Vamos precisar (i) descrever a região em coordenadas cartesianas, (ii) integrar em z, e (iii) converter para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Note que o integrando \,x^{2}+y^{2} não depende de z. Assim, a integral interna em z é
\int_{0}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dz =\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\int_{0}^{x}dz =x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 3

A integral original reduz-se então à integral dupla
\int_{-1}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

O domínio em (x,y) é a metade direita do disco de raio 1 (pois y varia de -1 a 1 e 0\le x\le\sqrt{1-y^2}). Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Nesse repasse x^{2}+y^{2}=r^{2} e x=r\cos\theta.

Passo 5

Substituindo na integral dupla, o integrando fica
x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy =(r\cos\theta)\bigl(r^{2}\bigr)\,(r\,dr\,d\theta) =r^{4}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Os limites em coordenadas cilíndricas são
0\le r\le 1, \quad -\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2},
pois cobrimos a metade direita do disco unitário.

Passo 7

A integral separa-se em produto radial e angular:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}r^{4}\cos\theta\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{1}r^{4}\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\Bigr).
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}r^{4}\,dr=\frac{1}{5}, \qquad \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=2.

Passo 8

Multiplicando, obtemos
\frac{1}{5}\times 2 = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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