Ache \mathbf{R}^{\prime}(t) e \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=\cos 2 t \mathbf{i}+\operatorname{tg} t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para achar a primeira e a segunda derivadas do vetor \mathbf{R}(t)=\cos(2t)\,\mathbf{i}+\tan(t)\,\mathbf{j}.
O conteúdo que vamos usar é a derivada de um vetor definida componente a componente, e as regras de derivação de funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(2t)\bigr]
\frac{d}{dt}\bigl[\tan(t)\bigr]

Passo 2

Para obter \mathbf{R}'(t) aplicamos
\mathbf{R}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl[\cos(2t)\bigr]\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl[\tan(t)\bigr]\,\mathbf{j}.

Passo 3

A derivada de \cos(2t) usa a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(2t)\bigr] =-\sin(2t)\cdot\frac{d}{dt}(2t) =-2\sin(2t).

Passo 4

A derivada de \tan(t) é
\frac{d}{dt}\bigl[\tan(t)\bigr] =\operatorname{sec}^2(t).

Passo 5

Substituindo em \mathbf{R}'(t), temos
\mathbf{R}'(t) =-2\sin(2t)\,\mathbf{i} +\operatorname{sec}^2(t)\,\mathbf{j}.

Passo 6

Para \mathbf{R}''(t) derivamos de novo componente a componente em \mathbf{R}'(t):
\mathbf{R}''(t) =\frac{d}{dt}\bigl[-2\sin(2t)\bigr]\,\mathbf{i} +\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{sec}^2(t)\bigr]\,\mathbf{j}.

Passo 7

Derivada de -2\sin(2t) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl[-2\sin(2t)\bigr] =-2\cos(2t)\cdot\frac{d}{dt}(2t) =-4\cos(2t).

Passo 8

Derivada de \operatorname{sec}^2(t) usando a regra da cadeia e do quadrado:
\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{sec}^2(t)\bigr] =2\,\operatorname{sec}(t)\cdot\frac{d}{dt}[\operatorname{sec}(t)] =2\,\operatorname{sec}(t)\cdot[\operatorname{sec}(t)\tan(t)] =2\operatorname{sec}^2(t)\tan(t).

Resposta

\mathbf{R}'(t)=-2\sin(2t)\,\mathbf{i}+\operatorname{sec}^2(t)\,\mathbf{j},
\mathbf{R}''(t)=-4\cos(2t)\,\mathbf{i}+2\operatorname{sec}^2(t)\tan(t)\,\mathbf{j}.

Exercícios relacionados