Ache a matriz escalonada reduzida desse sistema:
l x1+3 x2-2 x3+2 x5=0 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6=-1 5 x3+10 x4+15 x6=5 2 x1+6 x2+8 x4+4 x5+18 x6=6

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com seis incógnitas x1, x2, x3, x4, x5, x6 e quatro equações. O objetivo é encontrar a matriz escalonada reduzida desse sistema, que é uma forma simplificada da matriz aumentada do sistema usada para resolver as equações de maneira mais fácil.
Para resolver isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss-Jordan, que envolve operações de linha para simplificar a matriz até chegar à forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações. Assim, temos:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & | & -1 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & | & 5 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & | & 6

Passo 3

Nosso próximo passo é transformar essa matriz em uma forma mais simples usando operações de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra.
Vamos começar garantindo que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está feito aqui. Agora, queremos eliminar os termos abaixo desse 1 na primeira coluna.

Passo 4

Vamos eliminar o 2 na segunda linha e o 2 na quarta linha, que estão abaixo do 1 na primeira coluna.
Para eliminar o 2 na segunda linha ( R2), fazemos:
R2 = R2 - 2 times R1
Calculando:
R2 = [2, 6, -5, -2, 4, -3, |, -1] - 2 times [1, 3, -2, 0, 2, 0, |, 0] = [0, 0, -1, -2, 0, -3, |, -1]
Para eliminar o 2 na quarta linha ( R4), fazemos:
R4 = R4 - 2 times R1
Calculando:
R4 = [2, 6, 0, 8, 4, 18, |, 6] - 2 times [1, 3, -2, 0, 2, 0, |, 0] = [0, 0, 4, 8, 0, 18, |, 6]
Nossa matriz agora fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & | & -1 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & | & 5 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & | & 6

Passo 5

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o primeiro número não nulo dessa coluna seja 1. Vamos observar que a segunda linha tem -1 na terceira coluna. Vamos multiplicar a segunda linha por -1 para que esse número vire 1.
R2 = -1 times R2
Calculando:
R2 = -1 times [0, 0, -1, -2, 0, -3, |, -1] = [0, 0, 1, 2, 0, 3, |, 1]
Nossa matriz agora fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | & 1 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & | & 5 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & | & 6

Passo 6

Vamos agora eliminar os termos abaixo e acima do 1 na terceira coluna. Para isso:
  • Eliminar o 5 na terceira linha ( R3):
R3 = R3 - 5 times R2
Calculando:
R3 = [0, 0, 5, 10, 0, 15, |, 5] - 5 times [0, 0, 1, 2, 0, 3, |, 1] = [0, 0, 0, 0, 0, 0, |, 0]
  • Eliminar o 4 na quarta linha ( R4):
R4 = R4 - 4 times R2
Calculando:
R4 = [0, 0, 4, 8, 0, 18, |, 6] - 4 times [0, 0, 1, 2, 0, 3, |, 1] = [0, 0, 0, 0, 0, 6, |, 2]
Nossa matriz agora fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & | & 2

Passo 7

Vamos simplificar a quarta linha para que o coeficiente de x6 seja 1. Para isso, dividimos a quarta linha por 6:
R4 = 16 times R4
Calculando:
R4 = 16 times [0, 0, 0, 0, 0, 6, |, 2] = [0, 0, 0, 0, 0, 1, |, 13]
Nossa matriz agora fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13

Passo 8

Agora, vamos eliminar os termos acima do 1 na sexta coluna. Observamos que na segunda linha há um 3 na sexta coluna. Para eliminar isso, fazemos:
R2 = R2 - 3 times R4
Calculando:
R2 = [0, 0, 1, 2, 0, 3, |, 1] - 3 times [0, 0, 0, 0, 0, 1, |, 13] = [0, 0, 1, 2, 0, 0, |, 0]
Nossa matriz agora fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13

Passo 9

Por último, vamos eliminar o -2 na terceira coluna da primeira linha usando a segunda linha. Fazemos:
R1 = R1 + 2 times R2
Calculando:
R1 = [1, 3, -2, 0, 2, 0, |, 0] + 2 times [0, 0, 1, 2, 0, 0, |, 0] = [1, 3, 0, 4, 2, 0, |, 0]
Nossa matriz final em forma escalonada reduzida fica:
1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13

Resposta

A matriz escalonada reduzida do sistema é:
1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13

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