Estatística) Em estatística multivariada, é comum utilizar espaços vetoriais para representar observações de variáveis aleatórias em diferentes dimensões. Considere três variáveis aleatórias X1, X2 e X3 que representam as notas de um estudante em três disciplinas diferentes. As notas são armazenadas em um vetor de dimensão 3:
X=[X1, X2, X3]
Suponha que essas variáveis sejam combinadas linearmente para formar um novo índice de desempenho acadêmico D, dado por:
D=c1 X1+c2 X2+c3 X3
Sabendo que a matriz de covariância das variáveis X1, X2 e X3 é:
Sigma=[ccc 1 & 0.5 & 0.3 0.5 & 1 & 0.4 0.3 & 0.4 & 1 ]
Determine se X pertence ao subespaço gerado pelas colunas da matriz Sigma, e qual é a interpretação geométrica disso no contexto de variáveis correlacionadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre estatística multivariada, que é quando lidamos com várias variáveis ao mesmo tempo. Aqui, temos três notas de um estudante em três matérias diferentes, representadas pelas variáveis X1, X2 e X3. Essas notas estão organizadas em um vetor X = [X1, X2, X3]. Queremos combinar essas notas de forma linear para criar um novo índice de desempenho acadêmico D = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3. Além disso, nos dão a matriz de covariância Sigma, que mostra como essas notas estão relacionadas entre si. Nosso objetivo é descobrir se o vetor X pertence ao subespaço gerado pelas colunas dessa matriz Sigma e entender o que isso significa geometricamente quando as variáveis estão correlacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor X pertencer ao subespaço gerado pelas colunas da matriz Sigma. Em álgebra linear, um subespaço gerado por colunas de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares dessas colunas. Ou seja, se Sigma é uma matriz 3 times 3, o subespaço gerado por suas colunas é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados combinando linearmente suas colunas.

Passo 3

Agora, para verificar se X está nesse subespaço, precisamos ver se existe uma combinação linear das colunas de Sigma que resulte em X. Matemáticamente, queremos encontrar coeficientes a, b e c tais que:
X = a cdot Sigma1 + b cdot Sigma2 + c cdot Sigma3
onde Sigma1, Sigma2 e Sigma3 são as colunas da matriz Sigma.

Passo 4

Vamos escrever a matriz Sigma e identificar suas colunas:
Sigma = 1 & 0.5 & 0.3 0.5 & 1 & 0.4 0.3 & 0.4 & 1
Então, as colunas são:
Sigma1 = 1 0.5 0.3, Sigma2 = 0.5 1 0.4, Sigma3 = 0.3 0.4 1
Queremos ver se existe uma solução para os coeficientes a, b, c na equação mencionada.

Passo 5

Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações onde:
X = a cdot Sigma1 + b cdot Sigma2 + c cdot Sigma3
Isso se traduz em:
X1 = a cdot 1 + b cdot 0.5 + c cdot 0.3 X2 = a cdot 0.5 + b cdot 1 + c cdot 0.4 X3 = a cdot 0.3 + b cdot 0.4 + c cdot 1
Precisamos resolver esse sistema para ver se existem valores de a, b, c que satisfazem as três equações.

Passo 6

Vamos representar esse sistema em forma matricial:
1 & 0.5 & 0.3 0.5 & 1 & 0.4 0.3 & 0.4 & 1 a b c = X1 X2 X3
Essa matriz do lado esquerdo é exatamente a matriz de covariância Sigma. Para saber se o sistema tem solução, precisamos verificar se o determinante de Sigma é diferente de zero (ou seja, se a matriz é invertível).

Passo 7

Calculando o determinante de Sigma:
det(Sigma) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0.4 cdot 0.4) - 0.5 cdot (0.5 cdot 1 - 0.4 cdot 0.3) + 0.3 cdot (0.5 cdot 0.4 - 1 cdot 0.3)
Simplificando:
det(Sigma) = 1 cdot (1 - 0.16) - 0.5 cdot (0.5 - 0.12) + 0.3 cdot (0.2 - 0.3) = 0.84 - 0.5 cdot 0.38 + 0.3 cdot (-0.1) = 0.84 - 0.19 - 0.03 = 0.62
Como o determinante é diferente de zero ( 0.62 neq 0), a matriz Sigma é invertível, o que significa que o sistema tem uma solução única.

Passo 8

Portanto, existe uma combinação linear das colunas de Sigma que resulta em X. Isso significa que o vetor X pertence ao subespaço gerado pelas colunas da matriz de covariância Sigma.

Resposta

Sim, o vetor X pertence ao subespaço gerado pelas colunas da matriz Sigma. Geometricamente, isso indica que as variáveis X1, X2 e X3 estão correlacionadas de tal forma que qualquer uma delas pode ser representada como uma combinação linear das outras, ou seja, elas residem em um mesmo subespaço multidimensional devido às suas correlações.

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