Mostre que são espaços vetoriais sobre
com as operações usuais de funções, são espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções de
para os números reais, forma um espaço vetorial sobre
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre Espaços Vetoriais. Para resolver, precisamos verificar que todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial são satisfeitas por
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ser um espaço vetorial, nosso conjunto precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se você pegar duas funções quaisquer em
e somá-las, o resultado também precisa estar em
. O mesmo vale para multiplicar uma função por um número real.
Passo 3
Vamos verificar a adição. Seja
e
duas funções em
. A soma
é definida por
para todo
. Como
e
são números reais, a soma
também é um número real. Portanto,
é uma função que mapeia
para
, ou seja,
. Assim, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
e
. A função
é definida por
para todo
. Como
é real e
também,
é real. Então,
também é uma função que mapeia
para
, ou seja,
. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Além da fechamento, precisamos verificar as axiomas de espaço vetorial. Vamos conferir alguns deles:
-
Associatividade da adição: Para
, temos . Isso é verdade porque a adição de números reais é associativa. -
Comutatividade da adição: Para
, . Novamente, isso segue da comutatividade da soma dos reais. -
Elemento neutro: Existe uma função zero
em definida por para todo . Para qualquer função , . -
Inverso aditivo: Para cada
, existe uma função tal que . Aqui, é definida por para todo . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para
e , . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para
e , . -
Compatibilidade da multiplicação por escalares: Para
e , . -
Identidade da multiplicação por escalar: Para
, , onde é o elemento neutro de .
Todos esses axiomas são satisfeitos porque as operações de soma e multiplicação de funções são definidas componente a componente pelas operações nos números reais, que já satisfazem esses axiomas.
Resposta
Portanto, verificamos que
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre
. Logo,
é de fato um espaço vetorial sobre
.