Algorítmos e ciência de dados) Em um sistema de recomendação, cada usuário é representado por um vetor em um espaço vetorial de dimensão n, onde n é o número total de itens disponíveis (filmes, músicas, produtos, etc.). Cada entrada do vetor indica a avaliação do usuário para o respectivo item (valor entre 0 e 5 , por exemplo). Da mesma forma, cada item é representado por um vetor de características que descreve suas propriedades.
Dado um conjunto de usuários U1, U2, U3 e um item I, cujos vetores de características no espaço vetorial são:
U1=[4,0,5], U2=[3,5,0], U3=[0,2,4], I=[1,1,1]
Determine se I pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3. Se sim, encontre os coeficientes que expressam essa combinação.
A resposta determinará se o item pode continuar a ser recomendado a um subconjunto específico de usuários. Onde você acha que este tipo de situação acontece no seu cotidiano?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de recomendação onde cada usuário é representado por um vetor e cada item também é representado por um vetor de características. No exercício, temos três usuários:
U1 = [4, 0, 5], U2 = [3, 5, 0], U3 = [0, 2, 4]
E um item:
I = [1, 1, 1]
A pergunta é: Será que o item I pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3? Se sim, quais são os coeficientes dessa combinação? Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor pode ser expresso como uma combinação linear de , e se existirem números (coeficientes) , e tais que:
Isso significa que:
Vamos expandir essa equação para termos um sistema de equações que podemos resolver.

Passo 3

Expandindo a combinação linear, temos:
[4c1 + 3c2 + 0c3, 0c1 + 5c2 + 2c3, 5c1 + 0c2 + 4c3] = [1, 1, 1]
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
4c1 + 3c2 + 0c3 = 1 0c1 + 5c2 + 2c3 = 1 5c1 + 0c2 + 4c3 = 1
Simplificando, temos:
4c1 + 3c2 = 1 (1) 5c2 + 2c3 = 1 (2) 5c1 + 4c3 = 1 (3)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação para simplificar.
Primeiro, da equação (1):
4c1 + 3c2 = 1 Rightarrow 4c1 = 1 - 3c2 Rightarrow c1 = 1 - 3c24
Vamos chamar essa de expressão para c1.

Passo 5

Agora, vamos substituir c1 na equação (3):
5c1 + 4c3 = 1
Substituindo c1 = 1 - 3c24:
5(1 - 3c24) + 4c3 = 1
Multiplicando:
5 - 15c24 + 4c3 = 1
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
5 - 15c2 + 16c3 = 4
Simplificando:
-15c2 + 16c3 = -1 (4)

Passo 6

Agora, temos a equação (2):
5c2 + 2c3 = 1 (2)
E a equação (4):
-15c2 + 16c3 = -1 (4)
Vamos resolver esse sistema para encontrar c2 e c3. Podemos multiplicar a equação (2) por 3 para facilitar a eliminação:
3 times (2): 15c2 + 6c3 = 3 (5)
Agora, somamos a equação (4) com a equação (5):
-15c2 + 16c3 + 15c2 + 6c3 = -1 + 3
Simplificando:
22c3 = 2 Rightarrow c3 = 222 = 111

Passo 7

Agora que temos c3 = 111, vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar c2:
5c2 + 2(111) = 1
Multiplicando:
5c2 + 211 = 1
Subtraindo 211 de ambos os lados:
5c2 = 1 - 211 = 1111 - 211 = 911
Dividindo ambos os lados por 5:
c2 = 911 times 5 = 955

Passo 8

Agora, vamos encontrar c1 usando a expressão que encontramos no Passo 4:
c1 = 1 - 3c24
Substituindo c2 = 955:
c1 = 1 - 3(955)4 = 1 - 27554 = 5555 - 27554 = 28554 = 2855 times 4 = 28220 = 755

Resposta

Sim, o vetor I pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores U1, U2 e U3. Os coeficientes que satisfazem essa combinação são:
c1 = 755, c2 = 955, c3 = 111

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