Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
O conjunto de todos os ternos de números reais com a operação padrão de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
.
O conjunto de todos os ternos de números reais com a operação padrão de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede para a gente descobrir se um certo conjunto é ou não um espaço vetorial. O conjunto em questão é formado por todas as trincas de números reais, com a adição padrão (aquela que somamos cada componente direitinho) e uma multiplicação por escalar que não é a usual. Em vez de multiplicar cada componente por λ, a multiplicação é definida como:
Para resolver isso, vamos revisar os axiomas de espaço vetorial e verificar se todos eles são satisfeitos com essas operações. Se algum desses axiomas não for cumprido, então o conjunto não é um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. São eles:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Existência do elemento neutro: Existe um vetor
tal que - Existência do elemento inverso: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Multiplicação por escalar 1:
Nosso trabalho será verificar cada um desses axiomas para ver se são todos verdadeiros com as operações dadas.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade da adição. Como a adição é padrão, ou seja:
Claramente, isso é comutativo porque a soma dos reais é comutativa:
Então, o primeiro axioma está ok.
Passo 4
Agora, vamos para a associatividade da adição. Mais uma vez, como a adição é padrão:
E também:
Como a soma dos reais é associativa, esse axioma também está cumprido.
Passo 5
Vamos ver a existência do elemento neutro. No conjunto de trincas de números reais com adição padrão, o elemento neutro é:
Porque, para qualquer trinca
:
Então, o elemento neutro existe e está correto.
Passo 6
O próximo é a existência do elemento inverso. Para cada trinca
, o inverso é:
Porque:
Então, cada vetor tem seu inverso, satisfazendo esse axioma.
Passo 7
Agora, vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares, ou seja, verificar se:
Vamos calcular ambos os lados para uma trinca
:
Primeiro,
usando a definição dada:
Agora, multiplicando por
:
Por outro lado:
Como
, esse axioma também está ok.
Passo 8
Vamos para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar isso. Seja
e
.
Primeiro,
.
Agora, multiplicando por
:
Por outro lado:
Isso é igual a:
Ou seja,
. Então, esse axioma também está válido.
Passo 9
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para
, vamos calcular ambos os lados.
Primeiro,
:
Agora,
:
Comparando com
, notamos que:
Portanto, na geral,
. Isso quebra o axioma da distributividade em relação à adição de escalares.
Passo 10
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar 1:
Usando a definição dada:
Então, esse axioma está cumprido.
Resposta
Como observamos, todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, exceto o da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Isso significa que o conjunto de todas as trincas de números reais com a adição padrão e a multiplicação por escalar definida por
não é um espaço vetorial.