Determine se os conjuntos são ou não espaços vetoriais
O conjunto de todos os ternos de números reais com a operação padrão de adição, mas com a multiplicação por escalar definida por lambda(x, y, z)=(lambda^2 x, lambda^2 y, lambda^2 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede para a gente descobrir se um certo conjunto é ou não um espaço vetorial. O conjunto em questão é formado por todas as trincas de números reais, com a adição padrão (aquela que somamos cada componente direitinho) e uma multiplicação por escalar que não é a usual. Em vez de multiplicar cada componente por λ, a multiplicação é definida como:
lambda(x, y, z) = (lambda^2 x, lambda^2 y, lambda^2 z)
Para resolver isso, vamos revisar os axiomas de espaço vetorial e verificar se todos eles são satisfeitos com essas operações. Se algum desses axiomas não for cumprido, então o conjunto não é um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. São eles:
  1. Comutatividade da adição: u + v = v + u
  2. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Existência do elemento neutro: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Existência do elemento inverso: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: a(bu) = (ab)u
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u + v) = au + av
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)u = au + bu
  8. Multiplicação por escalar 1: 1u = u
Nosso trabalho será verificar cada um desses axiomas para ver se são todos verdadeiros com as operações dadas.

Passo 3

Vamos começar verificando a comutatividade da adição. Como a adição é padrão, ou seja:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Claramente, isso é comutativo porque a soma dos reais é comutativa:
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x2 + x1, y2 + y1, z2 + z1)
Então, o primeiro axioma está ok.

Passo 4

Agora, vamos para a associatividade da adição. Mais uma vez, como a adição é padrão:
[(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)] + (x3, y3, z3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3)
E também:
(x1, y1, z1) + [(x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)] = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3)
Como a soma dos reais é associativa, esse axioma também está cumprido.

Passo 5

Vamos ver a existência do elemento neutro. No conjunto de trincas de números reais com adição padrão, o elemento neutro é:
0 = (0, 0, 0)
Porque, para qualquer trinca (x, y, z):
(x, y, z) + (0, 0, 0) = (x + 0, y + 0, z + 0) = (x, y, z)
Então, o elemento neutro existe e está correto.

Passo 6

O próximo é a existência do elemento inverso. Para cada trinca (x, y, z), o inverso é:
-(x, y, z) = (-x, -y, -z)
Porque:
(x, y, z) + (-x, -y, -z) = (x - x, y - y, z - z) = (0, 0, 0)
Então, cada vetor tem seu inverso, satisfazendo esse axioma.

Passo 7

Agora, vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares, ou seja, verificar se:
a(b cdot u) = (ab) cdot u
Vamos calcular ambos os lados para uma trinca u = (x, y, z):
Primeiro, b cdot u usando a definição dada:
b cdot (x, y, z) = (b^2 x, b^2 y, b^2 z)
Agora, multiplicando por a:
a cdot (b cdot u) = a cdot (b^2 x, b^2 y, b^2 z) = (a^2 cdot b^2 x, a^2 cdot b^2 y, a^2 cdot b^2 z) = (a b)^2 (x, y, z)
Por outro lado:
(ab) cdot u = [(ab)]^2 (x, y, z) = (a b)^2 (x, y, z)
Como a(b cdot u) = (ab) cdot u, esse axioma também está ok.

Passo 8

Vamos para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v
Vamos verificar isso. Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2).
Primeiro, u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
Agora, multiplicando por a:
a cdot (u + v) = (a^2 (x1 + x2), a^2 (y1 + y2), a^2 (z1 + z2))
Por outro lado:
a cdot u + a cdot v = (a^2 x1, a^2 y1, a^2 z1) + (a^2 x2, a^2 y2, a^2 z2) = (a^2 x1 + a^2 x2, a^2 y1 + a^2 y2, a^2 z1 + a^2 z2)
Isso é igual a:
(a^2 (x1 + x2), a^2 (y1 + y2), a^2 (z1 + z2))
Ou seja, a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v. Então, esse axioma também está válido.

Passo 9

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(a + b) cdot u = a cdot u + b cdot u
Para u = (x, y, z), vamos calcular ambos os lados.
Primeiro, (a + b) cdot u:
(a + b) cdot (x, y, z) = ((a + b)^2 x, (a + b)^2 y, (a + b)^2 z)
Agora, a cdot u + b cdot u:
a cdot (x, y, z) + b cdot (x, y, z) = (a^2 x, a^2 y, a^2 z) + (b^2 x, b^2 y, b^2 z) = (a^2 x + b^2 x, a^2 y + b^2 y, a^2 z + b^2 z) = ((a^2 + b^2) x, (a^2 + b^2) y, (a^2 + b^2) z)
Comparando com (a + b) cdot u, notamos que:
(a + b)^2 neq a^2 + b^2 (a menos que ab = 0)
Portanto, na geral, (a + b) cdot u neq a cdot u + b cdot u. Isso quebra o axioma da distributividade em relação à adição de escalares.

Passo 10

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar 1:
1 cdot u = u
Usando a definição dada:
1 cdot (x, y, z) = (1^2 x, 1^2 y, 1^2 z) = (x, y, z)
Então, esse axioma está cumprido.

Resposta

Como observamos, todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, exceto o da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Isso significa que o conjunto de todas as trincas de números reais com a adição padrão e a multiplicação por escalar definida por lambda(x, y, z)=(lambda^2 x, lambda^2 y, lambda^2 z) não é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados