Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
A reta que contém os pontos (1,-1) e (2,2) é paralela à reta de equação x-3 y=7.

Passo 1

O enunciado dá as informações e faz a pergunta seguintes:
  • Dados os pontos (1,-1) e (2,2).
  • Dada a reta de equação x-3y=7.
    A pergunta: a reta que passa por (1,-1) e (2,2) é paralela à reta x-3y=7? Deve-se responder V (verdadeira) ou F (falsa) com justificativa.

Passo 2

Critério de paralelismo (explicação didática):
  • Duas retas não-verticais no plano são paralelas se, e somente se, têm o mesmo coeficiente angular (mesmo declive ou mesmo “slope”).
  • O coeficiente angular da reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde x_2\neq x_1. Aqui x_1,x_2 são as abscissas dos pontos e y_1,y_2 são as ordenadas; essa fórmula dá quanto a reta sobe (variação em y) quando x aumenta de uma unidade (variação em x).
  • Para uma reta dada na forma geral ax+by=c com b\neq0, pode-se escrever em forma reduzida y=mx+b_0 e o coeficiente angular é
m=-\frac{a}{b}.
Isso vem de isolar y em ax+by=c.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular da reta que passa por (1,-1) e (2,2) usando a fórmula entre dois pontos. Tomando (x_1,y_1)=(1,-1) e (x_2,y_2)=(2,2):
m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-1)}{2-1}=\frac{3}{1}=3.
Interpretação: ao aumentar x em 1, y aumenta em 3; então a inclinação é 3.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular da reta x-3y=7. Usando a forma geral ax+by=c com a=1 e b=-3, tem-se
m_2=-\frac{a}{b}=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}.
Alternativamente, isolando y:
x-3y=7\Rightarrow -3y=7-x\Rightarrow y=\frac{x-7}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3},
de onde o coeficiente angular é novamente \dfrac{1}{3}.

Passo 5

Comparação dos coeficientes angulares:
m_1=3\quad\text{e}\quad m_2=\frac{1}{3}.
Como 3\neq\frac{1}{3}, os coeficientes angulares são diferentes, logo as retas não são paralelas.

Passo 6

Verificação alternativa (vetores diretores), para reforçar a intuição:
  • Vetor diretor da reta pelos pontos é (2-1,\,2-(-1))=(1,3).
  • Um vetor diretor da reta x-3y=7 pode ser obtido percebendo que um vetor normal é (1,-3); um vetor diretor é ortogonal a esse normal, por exemplo (3,1) (pois (1,-3)\cdot(3,1)=3-3=0).
    Os vetores (1,3) e (3,1) não são múltiplos escalares um do outro, portanto as retas não são paralelas. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

F

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