Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
A reta que contém os pontos
e
é paralela à reta de equação
.
A reta que contém os pontos
Passo 1
O enunciado dá as informações e faz a pergunta seguintes:
- Dados os pontos
e . - Dada a reta de equação
.
A pergunta: a reta que passa pore é paralela à reta ? Deve-se responder V (verdadeira) ou F (falsa) com justificativa.
Passo 2
Critério de paralelismo (explicação didática):
- Duas retas não-verticais no plano são paralelas se, e somente se, têm o mesmo coeficiente angular (mesmo declive ou mesmo “slope”).
- O coeficiente angular da reta que passa por dois pontos
e é dado por
onde
. Aqui
são as abscissas dos pontos e
são as ordenadas; essa fórmula dá quanto a reta sobe (variação em
) quando
aumenta de uma unidade (variação em
).
- Para uma reta dada na forma geral
com , pode-se escrever em forma reduzida e o coeficiente angular é
Isso vem de isolar
em
.
Passo 3
Calcular o coeficiente angular da reta que passa por
e
usando a fórmula entre dois pontos. Tomando
e
:
Interpretação: ao aumentar
em
,
aumenta em
; então a inclinação é
.
Passo 4
Calcular o coeficiente angular da reta
. Usando a forma geral
com
e
, tem-se
Alternativamente, isolando
:
de onde o coeficiente angular é novamente
.
Passo 5
Comparação dos coeficientes angulares:
Como
, os coeficientes angulares são diferentes, logo as retas não são paralelas.
Passo 6
Verificação alternativa (vetores diretores), para reforçar a intuição:
- Vetor diretor da reta pelos pontos é
. - Um vetor diretor da reta
pode ser obtido percebendo que um vetor normal é ; um vetor diretor é ortogonal a esse normal, por exemplo (pois ).
Os vetorese não são múltiplos escalares um do outro, portanto as retas não são paralelas. Isso confirma o resultado anterior.
Resposta
F