Ache o máximo e o mínimo de f em R. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
(25 f(x, y)=x^{2}+2 x y+3 y^{2});\n R=(x, y):-2 <= x <= 4,-1 <= y <= 3

Passo 1

O enunciado pede o máximo e o mínimo de
f(x,y)=x^2+2xy+3y^2
no retângulo fechado
R=(x,y)mid -2<= x<=4,;-1<= y<=3
O conteúdo é otimização de função de duas variáveis em região fechada: primeiro achamos pontos críticos internos (gradiente nulo), classificamos com a matriz hessiana e depois investigamos as bordas.

Passo 2

Calcular os pontos críticos internos resolvendo
nabla f(x,y)=l(partialxf,;partialyfr)=(0,0)
Temos
partialxf=2x+2y, partialyf=2x+6y
Logo o sistema
2x+2y=0, 2x+6y=0
é equivalente a
x+y=0, x+3y=0 ;Longrightarrow;(x,y)=(0,0)

Passo 3

Classificar (0,0) via a matriz hessiana
H= fxx&fxy fyx&fyy = 2&2 2&6
O determinante é det H=2cdot6-2cdot2=8>0 e fxx=2>0, logo H é definida positiva e (0,0) é um mínimo local com
f(0,0)=0

Passo 4

Analisar as quatro arestas de R:
  1. Para x=-2,;yin[-1,3]:
f(-2,y)=4-4y+3y^2, (f(-2,y))'y=6y-4=0Rightarrow y=tfrac23in[-1,3]
f(-2,tfrac23)=4-tfrac83+3cdottfrac49=tfrac83approx2,67;
nos extremos y=-1 e y=3 tem f(-2,-1)=11, f(-2,3)=19.
  1. Para x=4,;yin[-1,3]:
f(4,y)=16+8y+3y^2, (f(4,y))'y=6y+8=0Rightarrow y=-tfrac43notin[-1,3],
logo extremos nos limites y=-1 e y=3:
f(4,-1)=11, f(4,3)=67
  1. Para y=-1,;xin[-2,4]:
f(x,-1)=x^2-2x+3, (f(x,-1))'x=2x-2=0Rightarrow x=1
f(1,-1)=1-2+3=2;
nos extremos x=-2, x=4 11 e 11.
  1. Para y=3,;xin[-2,4]:
f(x,3)=x^2+6x+27, (f(x,3))'x=2x+6=0Rightarrow x=-3notin[-2,4],
logo extremos nos limites x=-2, x=4:
f(-2,3)=19, f(4,3)=67

Passo 5

Compilando todos os candidatos:
  • No interior: (0,0) com f=0.
  • Nas arestas e cantos: os menores valores foram 2 (em (1,-1)) e tfrac83approx2,67; os maiores foram 67 (em (4,3)).
Logo o mínimo global é 0 em (0,0) e o máximo global é 67 em (4,3).

Resposta

Mínimo: fmin=0 em (0,0).
Máximo: fmax=67 em (4,3).

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