Calcule
lim x infty(x+2x+1)^x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando x vai para o infinito da expressão (x+2x+1)^x. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre limites e propriedades de exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
x+2x+1
Podemos dividir numerador e denominador por x :
1 + 2x1 + 1x
Quando x tende ao infinito, 2x e 1x vão para zero, então a fração se aproxima de 1+01+0 = 1 .

Passo 3

Agora, temos o limite de uma expressão que se aproxima de 1 elevada a uma potência que vai para o infinito:
limx to infty (1 + 1x+1)^x
Sabemos que (1 + 1n)^n tende a e quando n vai para o infinito.

Passo 4

No nosso caso, n = x+1 , que também vai para o infinito quando x vai para o infinito. Então:
limx to infty (1 + 1x+1)^x = e

Resposta

O limite é e .

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