Encontre a área do maior retângulo com maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero de lado L se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo equilátero de lado L e nos pede o maior retângulo possível inscrito nele, com um dos lados do retângulo apoiado na base do triângulo. O conteúdo envolve geometria analítica (equação de retas) e otimização (cálculo de derivada). Para resolver, vamos usar semelhança de triângulos para relacionar a altura do retângulo à sua largura e depois maximizar a área por derivação.

Passo 2

Para facilitar, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano com vértices em (0,0), (L,0) e l(tfracL2,hr), onde
h = Lraiz32
é a altura do triângulo. Considere um retângulo de largura x centrado na base, isto é, com arestas inferiores de
l(tfracL-x2,0r) a l(tfracL+x2,0r). As arestas superiores tocam as laterais do triângulo num ponto de altura y.
A reta lateral esquerda do triângulo passa por (0,0) e (tfracL2,h) e tem equação
y = 2hL,x
No canto superior esquerdo do retângulo, x = tfracL-x2, logo
y = 2hL,L - x2 = hL,(L - x)

Passo 3

A área do retângulo é
A(x) = x,y = x;hL,(L - x)
Substituindo h = tfracLraiz32, fica
A(x) = Lraiz32L;x,(L - x) = raiz32;x,(L - x)

Passo 4

Para maximizar, derivamos A(x) em relação a x e igualamos a zero:
A'(x) = raiz32,(L - 2x) Longrightarrow L - 2x = 0 Longrightarrow x = L2
Nesse ponto,
y = hL,l(L - tfracL2r) = hL,L2 = h2 Longrightarrow y = Lraiz34
Portanto a área máxima vale
Amax = x,y = L2;h2 = L,h4 = L4;Lraiz32 = L^2raiz38

Resposta

A área do maior retângulo inscrito é
L^2raiz38

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