Encontre a área do maior retângulo com maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero de lado
se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo equilátero de lado
e nos pede o maior retângulo possível inscrito nele, com um dos lados do retângulo apoiado na base do triângulo. O conteúdo envolve geometria analítica (equação de retas) e otimização (cálculo de derivada). Para resolver, vamos usar semelhança de triângulos para relacionar a altura do retângulo à sua largura e depois maximizar a área por derivação.
Passo 2
Para facilitar, vamos posicionar o triângulo no plano cartesiano com vértices em
,
e
, onde
é a altura do triângulo. Considere um retângulo de largura
centrado na base, isto é, com arestas inferiores de
a
. As arestas superiores tocam as laterais do triângulo num ponto de altura
.
A reta lateral esquerda do triângulo passa por
e
e tem equação
No canto superior esquerdo do retângulo,
, logo
Passo 3
A área do retângulo é
Substituindo
, fica
Passo 4
Para maximizar, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Nesse ponto,
Portanto a área máxima vale
Resposta
A área do maior retângulo inscrito é