Ache o máximo e o mínimo de f em R. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.) f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}-x+2 y;
a região R delimitada pela elipse x^{2}+4 y^{2}=1.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o máximo e o mínimo da função f sobre a região R.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=x^{2}+4y^{2}-x+2y.
A região R é o disco elíptico fechado delimitado pela elipse x^{2}+4y^{2}=1; ou seja, R=\{(x,y)\mid x^{2}+4y^{2}\le 1\}.
O problema pede os extremos globais (máximo e mínimo) de f em todo R.
Observação importante (teorema utilizado depois): como f é contínua e R é compacto (fechado e limitado), f atinge máximo e mínimo em R. Esses pontos ocorrem ou em pontos críticos no interior de R ou em pontos da fronteira x^{2}+4y^{2}=1.
Passo 2
Plano de ataque (sem calcular ainda):
Buscar pontos críticos no interior de R resolvendo \nabla f=0.
Verificar se esse(s) ponto(s) está(ão) dentro de R (ou seja, com x^{2}+4y^{2}<1).
Analisar a fronteira usando multiplicadores de Lagrange para resolver o problema de otimização com a restrição g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1=0.
Comparar os valores de f em todos os candidatos (pontos críticos interiores e pontos obtidos na fronteira) para decidir o máximo e o mínimo globais.
Explicação rápida do porquê do método: multiplicadores de Lagrange são a ferramenta padrão e direta para otimização com restrição g(x,y)=0. Eles dizem que em pontos candidatos para extremos restritos, o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g: \nabla f=\lambda \nabla g.
Passo 3
Encontrar pontos críticos no interior: calcular o gradiente de f.
Para testar um ponto crítico isolado, se H_f for definida positiva nesse ponto (autovalores positivos), então é mínimo local; se definida negativa, máximo local; se indefinida, sela. Aqui os autovalores são 2 e 8, ambos positivos, então H_f é definida positiva.
Conclusão: \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\right) é um mínimo local.
Resolver o sistema de Lagrange. Reescrever as duas primeiras equações:
2x-1=2\lambda x \quad\Rightarrow\quad 2x(1-\lambda)=1,
8y+2=8\lambda y \quad\Rightarrow\quad 8y(1-\lambda)=-2.
Observação: se 1-\lambda=0 então as duas equações seriam 0=1 e 0=-2, impossíveis; logo 1-\lambda\neq 0. Assim podemos dividir e obter expressões para x e y:
Conclusão: o menor valor de f em R é -\tfrac{1}{2} atingido em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\right); o maior valor é 1+\sqrt{2} atingido em \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\right).
Força aí — acabou! Você tem os candidatos e a comparação final: é exatamente isso que o exame costuma pedir.
Resposta
Mínimo: -\tfrac{1}{2} em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{4}\right)
Máximo: 1+\sqrt{2} em \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)