Ache a medida em radianos do ângulo entre u e v nos casos:
a) u=(3,3,0)
v=(2,1,-2)
b) u=(raiz32, 12, 0)
v=(raiz32, 12, raiz3)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre dois vetores em R^3, ou seja, usar o produto escalar e normas para achar
costheta = ucdotv|u|;|v|,
depois theta = arccos(cdot).

Passo 2

Para a parte (a), u=(3,3,0) e v=(2,1,-2):
o produto escalar é
ucdotv=3cdot2 + 3cdot1 + 0cdot(-2)=6+3+0=9.
As normas são
|u|=raiz3^2+3^2+0^2=raiz18=3raiz2 e
|v|=raiz2^2+1^2+(-2)^2=raiz9=3.
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costheta = 93raiz2,cdot3=1raiz2 Longrightarrow theta = arccosl(tfrac1raiz2r)=pi4

Passo 3

Para a parte (b), u=(tfracraiz32,tfrac12,0) e v=(tfracraiz32,tfrac12,raiz3):
o produto escalar é
ucdotv=tfracraiz32cdottfracraiz32 + tfrac12cdottfrac12 + 0cdotraiz3 = tfrac34 + tfrac14 = 1.
As normas são
|u|=raiztfrac34+tfrac14+0 = 1 e
|v|=raiztfrac34+tfrac14+3 = raiz4=2.
Então
costheta = 11cdot2 = tfrac12 Longrightarrow theta = arccosl(tfrac12r)=pi3

Resposta

(a) dfracpi4
(b) dfracpi3

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